Cálculo Ejemplos

$(2 x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 2 x y - y) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{2}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x y + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} + 2 x y - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x y - y]$

Paso 2.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x y - y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + \frac{d}{d x} [- y]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y + 0$

Paso 2.4.2

Suma $2 x + 2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x + 2 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 x + 2 y = 2 x + 2 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + y^{2} d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = 2 x y + y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int y^{2} d x$

Paso 5.2

Dado que $2 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int y^{2} d x$

Paso 5.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{2} d x$

Paso 5.4

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{2} x + C$

Paso 5.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{2} x + C$

Paso 5.6

Simplifica.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{2} x + g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x^{2}$ con respecto a $y$ es $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.3.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.4.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{2} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 2 x y + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 8.6

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = x^{2} + 2 x y - y - x^{2}$

Paso 9.1.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$

Paso 9.1.3

Combina los términos opuestos en $x^{2} + 2 x y - y - x^{2} - 2 x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.3.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y + 0 - 2 x y$

Paso 9.1.3.2

Suma $2 x y - y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - y - 2 x y$

Paso 9.1.3.3

Resta $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = - y + 0$

Paso 9.1.3.4

Suma $- y$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- y$ y obtén $g (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y d y$

Paso 10.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y d y$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 10.5

Reescribe $- (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{2} x - \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2

Resta $\frac{y^{2}}{2}$ de $y^{2} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Reordena $y^{2}$ y $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.2

Para escribir $x y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.3

Combina $x y^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{y^{2}}{2} + C$

Paso 12.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{x y^{2} \cdot 2 - y^{2}}{2} + C$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2 - y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) - y^{2}}{2} + C$

Paso 12.3.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1}{2} + C$

Paso 12.3.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Paso 12.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Paso 12.4

Para escribir $y x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Paso 12.5

Combina $y x^{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Paso 12.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Paso 12.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.7.1

Factoriza $y$ de $y x^{2} \cdot 2 + y^{2} (2 x - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.7.1.1

Factoriza $y$ de $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y^{2} (2 x - 1)}{2} + C$

Paso 12.7.1.2

Factoriza $y$ de $y^{2} (2 x - 1)$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))}{2} + C$

Paso 12.7.1.3

Factoriza $y$ de $y (x^{2} \cdot 2) + y (y (2 x - 1))$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{2} \cdot 2 + y (2 x - 1))}{2} + C$

Paso 12.7.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 \cdot x^{2} + y (2 x - 1))}{2} + C$

Paso 12.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + y (2 x) + y \cdot - 1)}{2} + C$

Paso 12.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x + y \cdot - 1)}{2} + C$

Paso 12.7.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - 1 \cdot y)}{2} + C$

Paso 12.7.6

Simplifica cada término.

$f (x, y) = \frac{y (2 x^{2} + 2 y x - y)}{2} + C$