Cálculo Ejemplos

$9 = \frac{9 d x (x - 2 x y)}{d y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Cambia los lados para obtener $\frac{d x}{d y}$ en el lado izquierdo.

$9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$

Paso 1.2

Divide cada término en $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ por $9 (x - 2 x y)$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y} = 9$ por $9 (x - 2 x y)$ .

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 (x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{9 (x - 2 x y)} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Paso 1.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común de $x - 2 x y$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2 x y) \frac{d x}{d y}}{x - 2 x y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d x}{d y} = \frac{9}{9 (x - 2 x y)}$

Paso 1.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x - 2 x y}$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $x$ de $x - 2 x y$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{1} - 2 x y}$

Paso 1.2.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 - 2 x y}$

Paso 1.2.3.2.3

Factoriza $x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x \cdot 1 + x (- 2 y)}$

Paso 1.2.3.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 2 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d y} = x (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - 2 y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{1 - 2 y}$ .

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d x}{d y} = x \frac{1}{x (1 - 2 y)}$

Paso 1.5.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{1 - 2 y}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$x d x = \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int x d x = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - 2 y} d y$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = 1 - 2 y$ . Entonces $d u = - 2 d y$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = 1 - 2 y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 - 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 2 y]$

Paso 2.3.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.3.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 2.3.1.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Paso 2.3.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Paso 2.3.1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.3.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Paso 2.3.1.1.4

Resta $2$ de $0$ .

$- 2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 2.3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 y$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - 2 y |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\ln (| 1 - 2 y |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} = 2 (- \frac{\ln (| 1 - 2 y |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = 2 \frac{- \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Paso 3.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Paso 3.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Paso 3.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + 2 C}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$x = \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 1 - 2 y |) + C}$