Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{- 2} \ln (x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{- 2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{- 2}$ de $y^{- 2} \ln (x)$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} (\ln (x)))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (y^{- 2} \ln (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \ln (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = \ln (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int \ln (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Mueve $y^{- 2}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int \ln (x) d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \ln (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Paso 2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - \int d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - (x + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (x) x - x + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x \ln (x) - x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x \ln (x) - x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (x \ln (x) - x + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (x \ln (x) - x + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 (x \ln (x)) + 3 (- x) + 3 K$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{3} = 3 x \ln (x) - 3 x + 3 K$

Paso 3.3

Simplifica $3 \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y^{3} = x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{x \ln (x^{3}) - 3 x + K}$