Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} - 12 y = 5 x + 8$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Paso 2.4

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + r e^{r x} - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Paso 2.4.2

Factoriza $e^{r x}$ de $r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} r - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Paso 2.4.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} r$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) - 12 e^{r x} = 5 x + 8$

Paso 2.4.4

Factoriza $e^{r x}$ de $- 12 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12 = 5 x + 8$

Paso 2.4.5

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} (r^{2} + r) + e^{r x} \cdot - 12$ .

$e^{r x} (r^{2} + r - 12) = 5 x + 8$

Paso 2.5

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + r - 12 = 5 x + 8$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 3.1.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + r - 12 - 5 x = 8$

Paso 3.1.1.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + r - 12 - 5 x - 8 = 0$

Paso 3.1.2

Resta $8$ de $- 12$ .

$r^{2} + r - 5 x - 20 = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 5 x - 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x - 20))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6

Suma $1$ y $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.1.6

Suma $1$ y $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{- 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.5.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Paso 3.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Paso 3.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 5 x - 20)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 20$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20 x + 80}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.1.6

Suma $1$ y $80$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{- 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.6.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 - \sqrt{20 x + 81}$ .

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Paso 3.6.4.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.6.4.2

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{20 x + 81}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{20 x + 81})}{2}$

Paso 3.6.4.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (\sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Paso 3.6.4.4

Reescribe $- 1 (1 + \sqrt{20 x + 81})$ como $- (1 + \sqrt{20 x + 81})$ .

$r = \frac{- (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}$

Paso 3.6.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$

$r = - \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$y_{1} = e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

$y_{2} = e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$y = c_{1} e^{- \frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2} x} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Combina $x$ y $\frac{1 - \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2} x}$

Paso 6.2

Combina $x$ y $\frac{1 + \sqrt{20 x + 81}}{2}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{x (1 - \sqrt{20 x + 81})}{2}} + c_{2} e^{- \frac{x (1 + \sqrt{20 x + 81})}{2}}$