Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.5

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.6

La integral de $x^{- 1}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.7

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $3$ por $y$ en $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2

Simplifica $- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1^{2}} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 - \frac{7}{2 \cdot 1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Paso 4.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \ln (1) + C = 3$

Paso 4.2.1.4

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 5 \cdot 0 + C = 3$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $5$ por $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + 0 + C = 3$

Paso 4.2.2

Suma $- 1 - \frac{7}{2}$ y $0$ .

$- 1 - \frac{7}{2} + C = 3$

Paso 4.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Paso 4.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{7}{2} + C = 3$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 7}{2} + C = 3$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 7}{2} + C = 3$

Paso 4.2.6.2

Resta $7$ de $- 2$ .

$\frac{- 9}{2} + C = 3$

Paso 4.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2} + C = 3$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{9}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 3 + \frac{9}{2}$

Paso 4.3.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$C = 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 4.3.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{3 \cdot 2 + 9}{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$C = \frac{6 + 9}{2}$

Paso 4.3.5.2

Suma $6$ y $9$ .

$C = \frac{15}{2}$

Paso 5

Sustituye $\frac{15}{2}$ por $C$ en $y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{15}{2}$ por $C$ .

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + 5 \ln (| x |) + \frac{15}{2}$

Paso 5.2

Simplifica $5 \ln (| x |)$ al mover $5$ dentro del algoritmo.

$y = - x - \frac{7}{2 x^{2}} + \ln ({| x |}^{5}) + \frac{15}{2}$