Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = π \sin (π θ)$ , $r (1) = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d r = π \sin (π θ) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d r = \int π \sin (π θ) d θ$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$r + C_{1} = \int π \sin (π θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $π$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $π$ fuera de la integral.

$r + C_{1} = π \int \sin (π θ) d θ$

Paso 2.3.2

Sea $u = π θ$ . Entonces $d u = π d θ$ , de modo que $\frac{1}{π} d u = d θ$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = π θ$ . Obtén $\frac{d u}{d θ}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $π$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $π θ$ con respecto a $θ$ es $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ es $n θ^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$r + C_{1} = π \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Paso 2.3.3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = π \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{π}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{π}$ fuera de la integral.

$r + C_{1} = π (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{π}$ y $π$ .

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$r + C_{1} = \frac{π}{π} \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$r + C_{1} = 1 \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \sin (u) d u$ por $1$ .

$r + C_{1} = \int \sin (u) d u$

Paso 2.3.6

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$r + C_{1} = - \cos (u) + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $π θ$ .

$r + C_{1} = - \cos (π θ) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$r = - \cos (π θ) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $θ$ y de $2$ por $r$ en $r = - \cos (π θ) + K$ .

$2 = - \cos (π \cdot 1) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \cos (π \cdot 1) + K = 2$ .

$- \cos (π \cdot 1) + K = 2$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $π$ por $1$ .

$- \cos (π) + K = 2$

Paso 4.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$- - \cos (0) + K = 2$

Paso 4.2.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- (- 1 \cdot 1) + K = 2$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- - 1 + K = 2$

Paso 4.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + K = 2$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 2 - 1$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$K = 1$

Paso 5

Sustituye $1$ por $K$ en $r = - \cos (π θ) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $K$ .

$r = - \cos (π θ) + 1$