Cálculo Ejemplos

$t \frac{d y}{d t} - 5 t = - y$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Paso 1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$t \frac{d y}{d t} - 5 t + y = 0$

Paso 1.2

Suma $5 t$ a ambos lados de la ecuación.

$t \frac{d y}{d t} + y = 5 t$

Paso 2

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $t y$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = y$ .

$t \frac{d}{d t} [y] + y \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d t} [y]$ como $y'$ .

$t y' + y \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t y' + y \cdot 1$

Paso 2.4

Sustituye $\frac{d y}{d t}$ por $y'$ .

$t \frac{d y}{d t} + y \cdot 1$

Paso 2.5

Reordena $y$ y $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + 1 \cdot y$

Paso 2.6

Multiplica $y$ por $1$ .

$t \frac{d y}{d t} + y$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [t y] = 5 t$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 5 t d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$t y = \int 5 t d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $5$ es constante con respecto a $t$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$t y = 5 \int t d t$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Paso 6.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.3.1

Reescribe $5 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ como $5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$t y = 5 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Paso 6.3.2

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ por $t$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $t y = \frac{5}{2} t^{2} + C$ por $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t y}{t} = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ y $t$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $t$ de $\frac{5}{2} t^{2}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t} + \frac{C}{t}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{t (\frac{5}{2} t)}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{5}{2} t}{1} + \frac{C}{t}$

Paso 7.3.1.1.2.5

Divide $\frac{5}{2} t$ por $1$ .

$y = \frac{5}{2} t + \frac{C}{t}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{5}{2}$ y $t$ .

$y = \frac{5 t}{2} + \frac{C}{t}$