Cálculo Ejemplos

$x (y d) y - (x^{2} + 2) d x = 0$

Paso 1

Suma $(x^{2} + 2) d x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y d y = (x^{2} + 2) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$y d y = \frac{1}{x} (x^{2} + 2) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $x^{2} + 2$ .

$y d y = \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Paso 4.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2} + 2}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.3.2.5

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x d x + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{2}{x} d x$

Paso 4.3.5

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = x^{2} + 2 (2 \ln (| x |)) + 2 C$

Paso 5.2.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y^{2} = x^{2} + 4 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 5.3

Simplifica $4 \ln (| x |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C$

Paso 5.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln ({| x |}^{4}) + 2 C}$

Paso 5.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Paso 5.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Paso 5.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Paso 5.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + 2 C}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$

$y = - \sqrt{x^{2} + \ln (x^{4}) + C}$