Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ por $x^{2} + y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x} = x y$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + y^{2}} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ por $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 1.6

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.7

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.7.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.7.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (y) \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y \frac{1}{x \cdot x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.8

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.9

Usa la potencia de la regla del cociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{2}}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$

Paso 6.1.1.2

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.2.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 + V^{2}} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}}}{x} + \frac{- V}{x}$

Paso 6.1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.2

Para escribir $- V$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} - V \cdot \frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3

Simplifica los términos.

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Paso 6.1.1.2.3.3.1

Combina $- V$ y $\frac{1 + V^{2}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{1 + V^{2}} + \frac{- V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.2.3.4.1

Factoriza $V$ de $V - V (1 + V^{2})$ .

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Paso 6.1.1.2.3.4.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.1.2

Factoriza $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 - V (1 + V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.1.3

Factoriza $V$ de $- V (1 + V^{2})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.1.4

Factoriza $V$ de $V \cdot 1 + V (- (1 + V^{2}))$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - (1 + V^{2}))}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 \cdot 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (1 - 1 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.4

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 - V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.5

Resta $V^{2}$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot - 1 V^{2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6

Combina exponentes.

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Paso 6.1.1.2.3.4.6.1

Factoriza el negativo.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.2

Multiplica $V$ por $V^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.2.3.4.6.2.1

Multiplica $V$ por $V^{2}$ .

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Paso 6.1.1.2.3.4.6.2.1.1

Eleva $V$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{1} V^{2})}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{1 + 2}}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.4.6.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}}}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.2.3.7

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{x (1 + V^{2})}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (- \frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} (\frac{V^{3}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $\frac{V^{3}}{1 + V^{2}}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3

Cancela el factor común de $1 + V^{2}$ .

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Paso 6.1.4.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1 + V^{2}}{V^{3}}$ al numerador.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V^{2})}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3.2

Factoriza $1 + V^{2}$ de $- (1 + V^{2})$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3.3

Factoriza $1 + V^{2}$ de $(1 + V^{2}) x$ .

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) (x)}$

Paso 6.1.4.3.4

Cancela el factor común.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V^{2}) \cdot - 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{(1 + V^{2}) x}$

Paso 6.1.4.3.5

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Paso 6.1.4.4

Cancela el factor común de $V^{3}$ .

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Paso 6.1.4.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{3}} \cdot \frac{V^{3}}{x}$

Paso 6.1.4.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1 + V^{2}}{V^{3}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.2.2.1.1

Mueve $V^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) {(V^{3})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(V^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{3 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (1 + V^{2}) V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $(1 + V^{2}) V^{- 3}$ .

$\int 1 V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3

Simplifica.

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica $V^{- 3}$ por $1$ .

$\int V^{- 3} + V^{2} V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $V^{2}$ por $V^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.3.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int V^{- 3} + V^{2 - 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.3.2.2

Resta $3$ de $2$ .

$\int V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int V^{- 3} d V + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $V^{- 3}$ con respecto a $V$ es $- \frac{1}{2} V^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \int V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.6

La integral de $V^{- 1}$ con respecto a $V$ es $\ln (| V |)$ .

$- \frac{1}{2} V^{- 2} + C_{1} + \ln (| V |) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7

Simplifica.

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Paso 6.2.2.7.1

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{V^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{V^{2} \cdot 2} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2.7.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $V^{2}$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Paso 6.2.3.3

Simplifica.

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2 V^{2}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Paso 8

Resuelve $- \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ en $y$ .

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Paso 8.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Paso 8.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Paso 8.3

Multiplica $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Paso 8.3.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{y}{x}$ y $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Paso 8.4.2

Divide $y$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 {(\frac{y}{x})}^{2}} + C$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 (\frac{y^{2}}{x^{2}})} + C$

Paso 8.5.2

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{2 y^{2}}{x^{2}}} + C$

Paso 8.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{2}}{2 y^{2}}) + C$

Paso 8.5.4

Multiplica $\frac{x^{2}}{2 y^{2}}$ por $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + C$