Cálculo Ejemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \frac{d y}{d x} + x y = 2$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x^{2}} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (y)}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x \cdot x} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.4

Factoriza $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.5

Reordena $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{2}{x^{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 2.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \frac{2}{x^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \frac{2}{x^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x^{2}}$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{2}{x \cdot x}$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{2}{x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{2}{x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$x y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 7.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$x y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 7.3

Simplifica.

$x y = 2 \ln (| x |) + C$

Paso 8

Divide cada término en $x y = 2 \ln (| x |) + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x y = 2 \ln (| x |) + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 \ln (| x |)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y = \frac{\ln ({| x |}^{2})}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 8.3.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \frac{\ln (x^{2})}{x} + \frac{C}{x}$