Cálculo Ejemplos

$3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ por $3 x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $3 x \frac{d y}{d x} = 5 - x^{3}$ por $3 x$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{3}}{3 x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{3 x}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 3}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} + \frac{- x^{2}}{3}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} - \frac{x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{3 x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{5}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - \frac{x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int \frac{x^{2}}{3} d x$

Paso 2.3.5

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} (\ln (| x |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{5}{3} \ln (| x |) - \frac{1}{9} x^{3} + C$