Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 1.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 1.3.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \int x^{- 3} d x$

Paso 1.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{1})$

Paso 1.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.5.1

Simplifica.

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Paso 1.5.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{1})$

Paso 1.5.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1})$

Paso 1.5.2

Simplifica.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Paso 1.5.3

Simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Paso 1.5.3.2

Multiplica $\frac{1}{2 x^{2}}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{1}{2 x^{2}} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{2 x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.3.3.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} \int x^{- 2} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- x^{- 1} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.6

Simplifica.

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Paso 3.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{2} = \frac{1}{2} (- \frac{1}{x}) + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.7

Reordena los términos.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x} + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x} + D$