Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{2 - 2 y}$

Paso 1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 - 2 y}$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $2 - 2 y$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) - 2 y}$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 2 y$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1) + 2 (- y)}$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $2$ de $2 (1) + 2 (- y)$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 (1 - y)}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1

Reordena $x^{2}$ y $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y$

Paso 2.3.2

Sea $u = 1 - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 1 - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\ln (| u |) + C_{2}))$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$\arctan (x) + C_{1} = \frac{1}{2} (- \ln (| u |)) + C_{2}$

Paso 2.3.6.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| u |)$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| u |)}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - y$ .

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$\arctan (x) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\arctan (x) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la arcotangente.

$x = \tan (- \frac{1}{2} \cdot \ln (| 1 - y |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Reordena $\ln (| 1 - y |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$x = \tan (- (\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)) + C)$

Paso 3.2.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (| 1 - y |)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$x = \tan (- \ln ({| 1 - y |}^{\frac{1}{2}}) + C)$