Cálculo Ejemplos

$2 x (y + 1) d x - (x^{2} + 1) d y = 0$

Paso 1

Resta $2 x (y + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- (x^{2} + 1) d y = - 2 x (y + 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2} + 1$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ al numerador.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (- 2 x (y + 1)) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Paso 3.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y + 1$ de $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Paso 3.6.2

Factoriza $y + 1$ de $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Paso 3.6.3

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Paso 3.6.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2}{x^{2} + 1} x d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{- 2}{x^{2} + 1}$ y $x$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 4.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 4.2.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 4.2.2.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.3

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.4

Simplifica.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.2.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Paso 4.3.4

Sea $u_{2} = x^{2} + 1$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.4.1

Deja $u_{2} = x^{2} + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.4.1.1

Diferencia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Paso 4.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 4.3.4.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 4.3.4.1.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 4.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.5

Simplifica.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.3.7.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.7.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Paso 5.2

Resta $\ln (| x^{2} + 1 |)$ de ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x^{2} + 1 |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Paso 5.3.2.2

Divide $\ln (| y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Paso 5.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x^{2} + 1 |)}{- 1}$

Paso 5.3.3.1.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{1}$

Paso 5.3.3.1.4

Divide $\ln (| x^{2} + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x^{2} + 1 |)$

Paso 5.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = - C$

Paso 5.5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$

Paso 5.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{- C}$

Paso 5.7

Reescribe $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Paso 5.8

Resuelve $y$

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Paso 5.8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{- C}$

Paso 5.8.2

Multiplica ambos lados por $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Paso 5.8.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.3.1

Cancela el factor común de $| x^{2} + 1 |$ .

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Paso 5.8.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Paso 5.8.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y + 1 | = e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Paso 5.8.4

Resuelve $y$

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Paso 5.8.4.1

Reordena los factores en $e^{- C} | x^{2} + 1 |$ .

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Paso 5.8.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$

Paso 5.8.4.3

Reordena los factores en $\pm | x^{2} + 1 | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 |$

Paso 5.8.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{- C} | x^{2} + 1 | - 1$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$