Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} x^{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Combina $\frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{(x^{3} - 21 x) x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} x^{3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3 + 3} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.4

Suma $3$ y $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x \cdot x^{3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 (x^{1} x^{3})}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{1 + 3}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.7

Suma $1$ y $3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3.8

Reordena $5$ y $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Paso 2.3.9

Mueve $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Paso 2.3.10

Reordena $4 x$ y $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{6} - 21 x^{4}}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.11

Divide $x^{6} - 21 x^{4}$ por $- x^{2} + 4 x + 5$ .

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Paso 2.3.11.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.3.11.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{6}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 2.3.11.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Paso 2.3.11.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{6} - 4 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

Paso 2.3.11.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

Paso 2.3.11.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Paso 2.3.11.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

Paso 2.3.11.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Paso 2.3.11.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{5} - 16 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Paso 2.3.11.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

Paso 2.3.11.11

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Paso 2.3.11.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $20 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Paso 2.3.11.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Paso 2.3.11.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $20 x^{3} - 80 x^{2} - 100 x$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

Paso 2.3.11.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

Paso 2.3.11.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Paso 2.3.11.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $80 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x^{2}$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

Paso 2.3.11.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Paso 2.3.11.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $80 x^{2} - 320 x - 400$ .

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

Paso 2.3.11.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{4}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$80$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$21 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{6}$

$4 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{5}$

$16 x^{4}$

$20 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$20 x^{3}$

$80 x^{2}$

$100 x$

$80 x^{2}$

$100 x$

$0$

$80 x^{2}$

$320 x$

$400$

$420 x$

$400$

Paso 2.3.11.21

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$y + C_{1} = \int - x^{4} - 4 x^{3} - 20 x - 80 + \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.12

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.14

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int - 4 x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.15

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 \int x^{3} d x + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.16

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int - 20 x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.17

Dado que $- 20$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 20$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 \int x d x + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.18

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 80 d x + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.19

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.20

Simplifica.

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Paso 2.3.20.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{5}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.20.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int \frac{420 x + 400}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.21

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.3.21.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.3.21.1.1

Factoriza la fracción.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1.1.1

Factoriza $20$ de $420 x + 400$ .

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Paso 2.3.21.1.1.1.1

Factoriza $20$ de $420 x$ .

$\frac{20 (21 x) + 400}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.1.2

Factoriza $20$ de $400$ .

$\frac{20 (21 x) + 20 (20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.1.3

Factoriza $20$ de $20 (21 x) + 20 (20)$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 x + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.21.1.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.3.21.1.1.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.2.1.2

Reescribe $4$ como $- 1$ más $5$

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 (21 x + 20)}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.21.1.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Paso 2.3.21.1.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{20 (21 x + 20)}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Paso 2.3.21.1.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{20 (21 x + 20)}{(- x - 1) (x - 5)}$

Paso 2.3.21.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Paso 2.3.21.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.5

Cancela el factor común de $- x - 1$ .

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Paso 2.3.21.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 (21 x + 20) (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.6

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 2.3.21.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{20 (21 x + 20) (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.6.2

Divide $20 (21 x + 20)$ por $1$ .

$20 (21 x + 20) = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$20 (21 x) + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.8

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1.8.1

Multiplica $21$ por $20$ .

$420 x + 20 \cdot 20 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.8.2

Multiplica $20$ por $20$ .

$420 x + 400 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1.9.1

Cancela el factor común de $- x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1.9.1.1

Cancela el factor común.

$420 x + 400 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.9.1.2

Divide $(A) (x - 5)$ por $1$ .

$420 x + 400 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$420 x + 400 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.9.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $A$ .

$420 x + 400 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.9.4

Cancela el factor común de $x - 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1.9.4.1

Cancela el factor común.

$420 x + 400 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.21.1.9.4.2

Divide $(B) (- x - 1)$ por $1$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Paso 2.3.21.1.9.5

Aplica la propiedad distributiva.

$420 x + 400 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Paso 2.3.21.1.9.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Paso 2.3.21.1.9.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Paso 2.3.21.1.9.8

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - B x - B$

Paso 2.3.21.1.10

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.1.10.1

Mueve $B$ .

$420 x + 400 = A x - 5 A - x B - B$

Paso 2.3.21.1.10.2

Mueve $- 5 A$ .

$420 x + 400 = A x - x B - 5 A - B$

Paso 2.3.21.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$420 = A - 1 B$

Paso 2.3.21.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$400 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.21.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$420 = A - 1 B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.21.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.1

Resuelve $A$ en $420 = A - 1 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A - 1 B = 420$ .

$A - 1 B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.21.3.1.2

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$A - B = 420$

$400 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.21.3.1.3

Suma $B$ a ambos lados de la ecuación.

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.21.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $420 + B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $400 = - 5 A - 1 B$ por $420 + B$ .

$400 = - 5 (420 + B) - 1 B$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.2.2.1

Simplifica $- 5 (420 + B) - 1 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$400 = - 5 \cdot 420 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 5$ por $420$ .

$400 = - 2100 - 5 B - 1 B$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.2.2.1.1.3

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 5 B - B$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 5 B$ .

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

$400 = - 2100 - 6 B$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3

Resuelve $B$ en $400 = - 2100 - 6 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2100 - 6 B = 400$ .

$- 2100 - 6 B = 400$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.3.2.1

Suma $2100$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 B = 400 + 2100$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.2.2

Suma $400$ y $2100$ .

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

$- 6 B = 2500$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3

Divide cada término en $- 6 B = 2500$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.3.21.3.3.3.1

Divide cada término en $- 6 B = 2500$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.21.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{2500}{- 6}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.3.3.3.1

Cancela el factor común de $2500$ y $- 6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.3.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2500$ .

$B = \frac{2 (1250)}{- 6}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.21.3.3.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$B = \frac{2 \cdot 1250}{2 \cdot - 3}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

$B = \frac{1250}{- 3}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 + B$

Paso 2.3.21.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{1250}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.21.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 420 + B$ por $- \frac{1250}{3}$ .

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.4.2

Simplifica $A = 420 - \frac{1250}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.4.2.1.1

Elimina los paréntesis.

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = 420 - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.3.4.2.2.1

Simplifica $420 - \frac{1250}{3}$ .

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Paso 2.3.21.3.4.2.2.1.1

Para escribir $420$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$A = 420 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.4.2.2.1.2

Combina $420$ y $\frac{3}{3}$ .

$A = \frac{420 \cdot 3}{3} - \frac{1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.4.2.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{420 \cdot 3 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.4.2.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.21.3.4.2.2.1.4.1

Multiplica $420$ por $3$ .

$A = \frac{1260 - 1250}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.4.2.2.1.4.2

Resta $1250$ de $1260$ .

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

$A = \frac{10}{3}$

$B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{10}{3}, B = - \frac{1250}{3}$

Paso 2.3.21.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{10}{3}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5

Simplifica.

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Paso 2.3.21.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.2

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{1}{- x - 1}$ .

$\frac{10}{3 (- x - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{10}{3 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.6

Reescribe los negativos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.21.5.6.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{10}{3 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} + \frac{- \frac{1250}{3}}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Paso 2.3.21.5.8

Multiplica $\frac{1}{x - 5}$ por $\frac{1250}{3}$ .

$- \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{(x - 5) \cdot 3}$

Paso 2.3.21.5.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.22

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.23

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} + \int - \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.24

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \int \frac{10}{3 (x + 1)} d x + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.25

Dado que $\frac{10}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{10}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - (\frac{10}{3} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.26

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.26.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.26.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.26.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.26.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.26.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.26.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.26.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.27

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) + \int - \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.28

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \int \frac{1250}{3 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.29

Dado que $\frac{1250}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1250}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - (\frac{1250}{3} \int \frac{1}{x - 5} d x)$

Paso 2.3.30

Sea $u_{2} = x - 5$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.30.1

Deja $u_{2} = x - 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.30.1.1

Diferencia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 2.3.30.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.30.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.30.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.30.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.30.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.31

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) - 20 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 80 x + C_{5} - \frac{10}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{6}) - \frac{1250}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{7})$

Paso 2.3.32

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| u_{1} |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Paso 2.3.33

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.33.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Paso 2.3.33.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{x^{5}}{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10 \ln (| x + 1 |)}{3} - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Paso 2.3.34

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - \frac{1}{5} x^{5} - x^{4} - 10 x^{2} - 80 x - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) + C_{8}$

Paso 2.3.35

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C_{8}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - x^{4} - 10 x^{2} - \frac{1}{5} x^{5} - \frac{10}{3} \ln (| x + 1 |) - \frac{1250}{3} \ln (| x - 5 |) - 80 x + C$