Cálculo Ejemplos

$(\frac{y}{x} + 6 x) d x + (\ln (x) - 2) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \frac{y}{x} + 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x} + 6 x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y}{x} + 6 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [6 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [6 x]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $6 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} + 0$

Paso 1.4.2

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \ln (x) - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x) - 2]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x} + 0$

Paso 2.4.2

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $\frac{1}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $\frac{1}{x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (x) - 2 d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = \ln (x) - 2$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y + g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $(\ln (x) - 2) y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [(\ln (x) - 2) y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $(\ln (x) - 2) y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [\ln (x) - 2]$ .

$y \frac{d}{d x} [\ln (x) - 2] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (x) - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.3.3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$y (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.3.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.3.5

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.3.6

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{y}{x} + 6 x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y}{x} = 6 x$

Paso 9.1.1.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y}{x} - 6 x = 0$

Paso 9.1.1.3

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{y}{x} - 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.3.1

Resta $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - 6 x = 0$

Paso 9.1.1.3.2

Suma $\frac{d g}{d x}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} - 6 x = 0$

Paso 9.1.2

Suma $6 x$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $6 x$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Paso 10.3

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + 3 x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = (\ln (x) - 2) y + 3 x^{2} + C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \ln (x) y - 2 y + 3 x^{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \ln (x) y - 2 y + 3 x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y \ln (x) - 2 y + 3 x^{2} + C$