Cálculo Ejemplos

$\frac{d A}{d r} = A b^{2} \cos (b r)$ , $A (0) = b^{3}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d A}{d r} + M (r) A = Q (r)$ .

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Paso 1.1

Reescribe la ecuación como $M (r) \frac{d A}{d r} + P (r) A = Q (r)$ .

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Paso 1.1.1

Resta $A b^{2} \cos (b r)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d A}{d r} - A b^{2} \cos (b r) = 0$

Paso 1.1.2

Reordena los términos.

$\frac{d A}{d r} - b^{2} A \cos (b r) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $A$ de $- b^{2} A \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} + A (- b^{2} \cos (b r)) = 0$

Paso 1.3

Reordena $A$ y $- b^{2} \cos (b r)$ .

$\frac{d A}{d r} - b^{2} \cos (b r) A = 0$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (r) d r}$ , donde $P (r) = - b^{2} \cos (b r)$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - b^{2} \cos (b r) d r}$

Paso 2.2

Integra $- b^{2} \cos (b r)$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $- b^{2}$ es constante con respecto a $r$ , mueve $- b^{2}$ fuera de la integral.

$e^{- b^{2} \int \cos (b r) d r}$

Paso 2.2.2

Sea $u = b r$ . Entonces $d u = b d r$ , de modo que $\frac{1}{b} d u = d r$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u = b r$ . Obtén $\frac{d u}{d r}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe.

$1 b$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $b$ por $1$ .

$b$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- b^{2} \int \cos (u) \frac{1}{b} d u}$

Paso 2.2.3

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{b}$ .

$e^{- b^{2} \int \frac{\cos (u)}{b} d u}$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{b}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{b}$ fuera de la integral.

$e^{- b^{2} (\frac{1}{b} \int \cos (u) d u)}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{b}$ y $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b^{2}}{b} \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.5.2

Cancela el factor común de $b^{2}$ y $b$ .

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Paso 2.2.5.2.1

Factoriza $b$ de $b^{2}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b} \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.2.2.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b^{1}} \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2.2

Factoriza $b$ de $b^{1}$ .

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2.3

Cancela el factor común.

$e^{- \frac{b \cdot b}{b \cdot 1} \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$e^{- \frac{b}{1} \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.5.2.2.5

Divide $b$ por $1$ .

$e^{- b \int \cos (u) d u}$

Paso 2.2.6

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$e^{- b (\sin (u) + C)}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$e^{- b \sin (u) + C}$

Paso 2.2.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $b r$ .

$e^{- b \sin (b r) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- b \sin (b r)}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- b \sin (b r)}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- b \sin (b r)}$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} + e^{- b \sin (b r)} (- b^{2} \cos (b r) A) = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = e^{- b \sin (b r)} \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $e^{- b \sin (b r)}$ por $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - e^{- b \sin (b r)} b^{2} \cos (b r) A = 0$ .

$e^{- b \sin (b r)} \frac{d A}{d r} - b^{2} A e^{- b \sin (b r)} \cos (b r) = 0$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] = 0$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d r} [e^{- b \sin (b r)} A] d r = \int 0 d r$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- b \sin (b r)} A = \int 0 d r$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

La integral de $0$ con respecto a $r$ es $0$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = 0 + C$

Paso 7.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- b \sin (b r)} A = C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- b \sin (b r)} A = C$ por $e^{- b \sin (b r)}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- b \sin (b r)} A = C$ por $e^{- b \sin (b r)}$ .

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- b \sin (b r)}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- b \sin (b r)} A}{e^{- b \sin (b r)}} = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$

Paso 9

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $r$ y de $b^{3}$ por $A$ en $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}}$

Paso 10

Resuelve $b$

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Paso 10.1

Multiplica ambos lados por $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

$b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1.1

Simplifica $b^{3} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

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Paso 10.2.1.1.1

Multiplica $b$ por $0$ .

$b^{3} e^{- b \sin (0)} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.1.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$b^{3} e^{- b \cdot 0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.1.1.3

Multiplica $- b \cdot 0$ .

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Paso 10.2.1.1.3.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$b^{3} e^{0 b} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.1.1.3.2

Multiplica $0$ por $b$ .

$b^{3} e^{0} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.1.1.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$b^{3} \cdot 1 = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.1.1.5

Multiplica $b^{3}$ por $1$ .

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- b \sin (b \cdot 0)}$ .

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Paso 10.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$b^{3} = \frac{C}{e^{- b \sin (b \cdot 0)}} e^{- b \sin (b \cdot 0)}$

Paso 10.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$b^{3} = C$

Paso 10.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$b = \sqrt[3]{C}$

Paso 11

Sustituye $\sqrt[3]{C}$ por $C$ en $A = \frac{C}{e^{- b \sin (b r)}}$ y simplifica.

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Paso 11.1

Sustituye $\sqrt[3]{C}$ por $b$ .

$A = \frac{C}{e^{- \sqrt[3]{C} \sin (\sqrt[3]{C} r)}}$