Cálculo Ejemplos

$e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ por $e^{- y}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1.1

Divide cada término en $e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x}) = 1$ por $e^{- y}$ .

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Paso 1.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.1.2.1

Cancela el factor común de $e^{- y}$ .

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Paso 1.1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- y} (1 + \frac{d y}{d x})}{e^{- y}} = \frac{1}{e^{- y}}$

Paso 1.1.1.2.1.2

Divide $1 + \frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$1 + \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}}$

Paso 1.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} - 1$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $\frac{1}{e^{- y}} - 1$ .

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} (\frac{1}{e^{- y}} - 1)$

Paso 1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = 1 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1} d y = \int d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1.1.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} - 1 \cdot \frac{e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $- 1$ y $\frac{e^{- y}}{e^{- y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{- y}} + \frac{- e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{- y}}{e^{- y}}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\int 1 \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Paso 2.2.1.3

Multiplica $\frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}}$ por $1$ .

$\int \frac{e^{- y}}{1 - e^{- y}} d y = \int d x$

Paso 2.2.2

Sea $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Entonces $d u_{2} = e^{- y} d y$ , de modo que $\frac{1}{e^{- y}} d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u_{2} = 1 - e^{- y}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $1 - e^{- y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{- y}]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{- y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Paso 2.2.2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$

Paso 2.2.2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

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Paso 2.2.2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{- y}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Paso 2.2.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = e^{y}$ y $g (y) = - y$ .

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Paso 2.2.2.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $- y$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.2.2.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$0 - (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.2.2.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- y$ .

$0 - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y])$

Paso 2.2.2.1.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Paso 2.2.2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - (e^{- y} (- 1 \cdot 1))$

Paso 2.2.2.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 - (e^{- y} \cdot - 1)$

Paso 2.2.2.1.3.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- y}$ .

$0 - (- 1 \cdot e^{- y})$

Paso 2.2.2.1.3.7

Reescribe $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$0 - - e^{- y}$

Paso 2.2.2.1.3.8

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 e^{- y}$

Paso 2.2.2.1.3.9

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$0 + e^{- y}$

Paso 2.2.2.1.4

Suma $0$ y $e^{- y}$ .

$e^{- y}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Paso 2.2.3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - e^{- y}$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = \int d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| 1 - e^{- y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 - e^{- y} |) = x + C$