Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Factoriza $x$ de $3 x + x y^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x y^{2}}{y + x^{2} y}$

Paso 1.1.2

Factoriza $x$ de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 3 + x (y^{2})}{y + x^{2} y}$

Paso 1.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot 3 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Paso 1.1.4

Multiplica $x$ por $3 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y + x^{2} y}$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $y + x^{2} y$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y^{1} + x^{2} y}$

Paso 1.2.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + x^{2} y}$

Paso 1.2.3

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot 1 + y x^{2}}$

Paso 1.2.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y \cdot (1 + x^{2})}$

Paso 1.2.5

Multiplica $y$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y}{3 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} (\frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{3 + y^{2}}{y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{x}{1 + x^{2}}$ por $\frac{3 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{(1 + x^{2}) y}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y$ de $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{y (1 + x^{2})}$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{x (3 + y^{2})}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $3 + y^{2}$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $3 + y^{2}$ de $x (3 + y^{2})$ .

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 + y^{2}} \cdot \frac{(3 + y^{2}) x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{3 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{1 + x^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y}{3 + y^{2}} d y = \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y}{3 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 3 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $3 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [3 + y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.3

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.3.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 3 + y^{2} |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 3 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 3 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + x^{2} |)$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 3 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 3 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = 2 C$

Paso 3.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$

Paso 3.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{2 C}$

Paso 3.6

Reescribe $\ln (\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Paso 3.7

Resuelve $y$

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Paso 3.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{2 C}$

Paso 3.7.2

Multiplica ambos lados por $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.3.1

Cancela el factor común de $| 1 + x^{2} |$ .

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Paso 3.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 3 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 3 + y^{2} | = e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.7.4

Resuelve $y$

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Paso 3.7.4.1

Reordena los factores en $e^{2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 3 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Paso 3.7.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$

Paso 3.7.4.3

Reordena los factores en $\pm | 1 + x^{2} | e^{2 C}$ .

$3 + y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 3.7.4.4

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3$

Paso 3.7.4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 1 + x^{2} | - 3}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 3}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 3}$