Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Resta $\frac{y}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = - \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.2

Suma $\frac{1}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $\frac{1}{- y + 1}$ por $\frac{- y + 1}{x}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $- y + 1$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x}$

Paso 1.4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = - y + 1$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = - y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- \ln (| - y + 1 |) - \ln (| x |) = C$

Paso 3.2

Suma $\ln (| x |)$ a ambos lados de la ecuación.

$- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$

Paso 3.3

Divide cada término en $- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- \ln (| - y + 1 |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Divide $\ln (| - y + 1 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Paso 3.3.3.1.4

Reescribe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - C - \ln (| x |)$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| - y + 1 |) + \ln (| x |) = - C$

Paso 3.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y + 1 | | x |) = - C$

Paso 3.6

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| (- y + 1) x |) = - C$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| - y x + 1 x |) = - C$

Paso 3.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$\ln (| - y x + x |) = - C$

Paso 3.9

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| - y x + x |)} = e^{- C}$

Paso 3.10

Reescribe $\ln (| - y x + x |) = - C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y x + x |$

Paso 3.11

Resuelve $y$

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Paso 3.11.1

Reescribe la ecuación como $| - y x + x | = e^{- C}$ .

$| - y x + x | = e^{- C}$

Paso 3.11.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$- y x + x = \pm e^{- C}$

Paso 3.11.3

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y x = \pm e^{- C} - x$

Paso 3.11.4

Divide cada término en $- y x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ y simplifica.

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Paso 3.11.4.1

Divide cada término en $- y x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ .

$\frac{- y x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 3.11.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.11.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 3.11.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.11.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 3.11.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 3.11.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.11.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Paso 3.11.4.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 3.11.4.3.1.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.11.4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 3.11.4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C}{x} + 1$