Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - x y = 0$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - x$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - x d x}$

Paso 1.2

Integra $- x$ .

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Paso 1.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int x d x}$

Paso 1.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Paso 1.2.3

Reescribe $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Paso 1.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ por $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x y) = 0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} - x y e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] = 0$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = 0 + C$

Paso 6.2

Suma $0$ y $C$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- \frac{x^{2}}{2}} y = C$ por $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} y}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$