Cálculo Ejemplos

$y d x = x (1 + x y^{4}) d y$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Resta $x (1 + x y^{4}) d y$ de ambos lados de la ecuación.

$y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = - x (1 + x y^{4})$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x (1 + x y^{4})]$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x (1 + x y^{4})$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x (1 + x y^{4})]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [1 + x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x y^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (0 + \frac{d}{d x} [x y^{4}]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x \frac{d}{d x} [x y^{4}] + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.4

Como $y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y^{4}$ con respecto a $x$ es $y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \frac{d}{d x} [x]) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x (y^{4} \cdot 1) + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.6

Multiplica $y^{4}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + (1 + x y^{4}) \cdot 1)$

Paso 3.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.8.1

Multiplica $1 + x y^{4}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (x y^{4} + 1 + x y^{4})$

Paso 3.4.8.2

Suma $x y^{4}$ y $x y^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4} + 1)$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (x y^{4}) - 1 \cdot 1$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y^{4} - 1$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y^{4} x - 1$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 y^{4} x - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 2 y^{4} x - 1$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$1 = - 2 y^{4} x - 1$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $- 2 y^{4} x - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $- x (1 + x y^{4})$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $- x (1 + x y^{4})$ por $N$ .

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x - 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 - (- 2 y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) - - 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (y^{4} x) + 1}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{2 y^{4} x + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2.5

Factoriza $2$ de $2 y^{4} x + 2$ .

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Paso 5.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $2 y^{4} x$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2.5.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (y^{4} x) + 2 (1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.2.5.3

Factoriza $2$ de $2 (y^{4} x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (1 + x y^{4})}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $y^{4} x + 1$ y $1 + x y^{4}$ .

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Paso 5.3.3.1

Reordena los términos.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (y^{4} x + 1)}{- x (y^{4} x + 1)}$

Paso 5.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{- x}$

Paso 5.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Paso 6.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 6.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Paso 6.6.3

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{- 2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Paso 6.6.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $y d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $y$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y \frac{1}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Paso 7.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- x (1 + x y^{4})$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x - x (1 + x y^{4}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.4.1

Factoriza $x$ de $- x (1 + x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Paso 7.4.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 7.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x^{2}} d x + x (- 1 (1 + x y^{4})) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Paso 7.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{y}{x^{2}} d x - 1 (1 + x y^{4}) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 \cdot 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - 1 (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.7

Reescribe $- 1 (x y^{4})$ como $- (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + (- 1 - (x y^{4})) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 7.8

Multiplica $- 1 - x y^{4}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 - x y^{4}}{x} d y = 0$

Paso 7.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - x y^{4}}{x} d y = 0$

Paso 7.10

Factoriza $- 1$ de $- x y^{4}$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1) - (x y^{4})}{x} d y = 0$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (x y^{4})$ .

$\frac{y}{x^{2}} d x + \frac{- 1 (1 + x y^{4})}{x} d y = 0$

Paso 7.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y}{x^{2}} d x - \frac{1 + x y^{4}}{x} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x^{2}} d x$

Paso 9

Integra $M (x, y) = \frac{y}{x^{2}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 9.2

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$f (x, y) = y \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 9.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 9.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 9.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = y \int x^{- 2} d x$

Paso 9.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$f (x, y) = y (- x^{- 1} + C)$

Paso 9.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.5.1

Reescribe $y (- x^{- 1} + C)$ como $y (- \frac{1}{x}) + C$ .

$f (x, y) = y (- \frac{1}{x}) + C$

Paso 9.5.2

Combina $y$ y $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x} + g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{y}{x} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{x}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $- \frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \frac{y}{x}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{d g}{d y} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} = - \frac{1 + x y^{4}}{x}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Suma $\frac{1 + x y^{4}}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{x} + \frac{1 + x y^{4}}{x} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1 + 1 + x y^{4}}{x} = 0$

Paso 13.1.1.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + x y^{4}}{x} = 0$

Paso 13.1.1.4

Suma $0$ y $x y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Paso 13.1.1.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 13.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x y^{4}}{x} = 0$

Paso 13.1.1.5.2

Divide $y^{4}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{4} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = - y^{4}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- y^{4}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{4} d y$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{4} d y$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int y^{4} d y$

Paso 14.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{4}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Paso 14.5

Reescribe $- (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ como $- \frac{1}{5} y^{5} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = - \frac{y}{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{1}{5} y^{5} + C$

Paso 16

Combina $y^{5}$ y $\frac{1}{5}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{x} - \frac{y^{5}}{5} + C$