Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y + 3$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) (- \frac{x + 1}{2 (y + 3)})$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y + 3$ .

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Paso 1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x + 1}{2 (y + 3)}$ al numerador.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{2 (y + 3)}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $y + 3$ de $2 (y + 3)$ .

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Paso 1.2.1.3

Cancela el factor común.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = (y + 3) \frac{- (x + 1)}{(y + 3) \cdot 2}$

Paso 1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = \frac{- (x + 1)}{2}$

Paso 1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$(y + 3) \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 1}{2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(y + 3) d y = - \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y + 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int y d y + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 3 d y = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2.2.3

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 y + C_{2} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2.2.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = \int - \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \int \frac{x + 1}{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} \int x + 1 d x)$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\int x d x + \int d x)$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int d x)$

Paso 2.3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + x + C_{5})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y + C_{3} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + x) + K$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + x) + K$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x + K$

Paso 3.2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $\frac{x^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} x + K$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2} x + K$

Paso 3.2.4

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + K$

Paso 3.3

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Suma $\frac{x^{2}}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} = - \frac{x}{2} + K$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{x}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} = K$

Paso 3.3.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{2} + 3 y + \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - K = 0$

Paso 3.4

Multiplica por el mínimo común denominador $4$ , luego simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (2) (\frac{y^{2}}{2}) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot (2 (\frac{y^{2}}{2})) + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{2} + 4 (3 y) + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$2 y^{2} + 12 y + 4 (\frac{x^{2}}{4}) + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 4 (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 (2) (\frac{x}{2}) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4.2

Cancela el factor común.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 \cdot (2 (\frac{x}{2})) + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.4.3

Reescribe la expresión.

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x + 4 (- K) = 0$

Paso 3.4.2.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$2 y^{2} + 12 y + x^{2} + 2 x - 4 K = 0$

Paso 3.4.3

Mueve $12 y$ .

$2 y^{2} + x^{2} + 2 x - 4 K + 12 y = 0$

Paso 3.4.4

Mueve $2 x$ .

$2 y^{2} + x^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Paso 3.4.5

Reordena $2 y^{2}$ y $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y^{2} - 4 K + 2 x + 12 y = 0$

Paso 3.5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.6

Sustituye los valores $a = 2$ , $b = 12$ y $c = x^{2} - 4 K + 2 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7

Simplifica.

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Paso 3.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (x^{2} - 4 K + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} - 8 (- 4 K) - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.4

Simplifica.

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Paso 3.7.1.4.1

Multiplica $- 4$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 8 (2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5

Factoriza $8$ de $144 - 8 x^{2} + 32 K - 16 x$ .

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Paso 3.7.1.5.1

Factoriza $8$ de $144$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) - 8 x^{2} + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5.2

Factoriza $8$ de $- 8 x^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 32 K - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5.3

Factoriza $8$ de $32 K$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) - 16 x}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5.4

Factoriza $8$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18) + 8 (- x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5.5

Factoriza $8$ de $8 (18) + 8 (- x^{2})$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5.6

Factoriza $8$ de $8 (18 - x^{2}) + 8 (4 K)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.5.7

Factoriza $8$ de $8 (18 - x^{2} + 4 K) + 8 (- 2 x)$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.6

Reescribe $8 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)$ como $2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))$ .

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Paso 3.7.1.6.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (2) (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.6.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.6.4

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 2^{2} K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.1.8

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$

Paso 3.7.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{4}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

Paso 3.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + 4 K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + 4 K - 2 x + 18)} + 6}{2}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = - \frac{6 - \sqrt{2 (18 - x^{2} + K - 2 x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x^{2} + K - 2 x + 18)} + 6}{2}$