Cálculo Ejemplos

$25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d T}{d t} + M (t) T = Q (t)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $25 \frac{d T}{d t} + T = 80 e^{- 0.04 t}$ por $25$ .

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{25 \frac{d T}{d t}}{25} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d T}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{80 e^{- 0.04 t}}{25}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $80$ y $25$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $5$ de $80 e^{- 0.04 t}$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{25}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $5$ de $25$ .

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 (5)}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{5 (16 e^{- 0.04 t})}{5 \cdot 5}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d T}{d t} + \frac{T}{25} = \frac{16 e^{- 0.04 t}}{5}$

Paso 1.4

Reordena los términos.

$\frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} T = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = \frac{1}{25}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{25} d t}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{\frac{1}{25} t + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\frac{1}{25} t}$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{25}$ y $t$ .

$e^{\frac{t}{25}}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + e^{\frac{t}{25}} (\frac{1}{25} T) = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{1}{25} e^{\frac{t}{25}} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Paso 3.2.2

Combina $\frac{1}{25}$ y $e^{\frac{t}{25}}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}}}{25} T = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{e^{\frac{t}{25}}}{25}$ y $T$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = e^{\frac{t}{25}} (\frac{16}{5} e^{- 0.04 t})$

Paso 3.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t}{25}} e^{- 0.04 t}$

Paso 3.4

Multiplica $e^{\frac{t}{25}}$ por $e^{- 0.04 t}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1

Mueve $e^{- 0.04 t}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} (e^{- 0.04 t} e^{\frac{t}{25}})$

Paso 3.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t + \frac{t}{25}}$

Paso 3.4.3

Para escribir $- 0.04 t$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{- 0.04 t \cdot \frac{25}{25} + \frac{t}{25}}$

Paso 3.4.4

Combina $- 0.04 t$ y $\frac{25}{25}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25}{25} + \frac{t}{25}}$

Paso 3.4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{- 0.04 t \cdot 25 + t}{25}}$

Paso 3.4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.1

Factoriza $t$ de $- 0.04 t \cdot 25 + t$ .

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Paso 3.4.6.1.1

Factoriza $t$ de $- 0.04 t \cdot 25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t}{25}}$

Paso 3.4.6.1.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t^{1}}{25}}$

Paso 3.4.6.1.3

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1}{25}}$

Paso 3.4.6.1.4

Factoriza $t$ de $t (- 0.04 \cdot 25) + t \cdot 1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 0.04 \cdot 25 + 1)}{25}}$

Paso 3.4.6.2

Multiplica $- 0.04$ por $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t (- 1 + 1)}{25}}$

Paso 3.4.6.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{t \cdot 0}{25}}$

Paso 3.4.7

Multiplica $t$ por $0$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{\frac{0}{25}}$

Paso 3.4.8

Divide $0$ por $25$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5} e^{0}$

Paso 3.5

Simplifica $\frac{16}{5} e^{0}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$

Paso 3.6

Reordena los factores en $e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{e^{\frac{t}{25}} T}{25} = \frac{16}{5}$ .

$e^{\frac{t}{25}} \frac{d T}{d t} + \frac{T e^{\frac{t}{25}}}{25} = \frac{16}{5}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] = \frac{16}{5}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{25}} T] d t = \int \frac{16}{5} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{\frac{t}{25}} T = \int \frac{16}{5} d t$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{\frac{t}{25}} T = \frac{16}{5} t + C$ por $e^{\frac{t}{25}}$ .

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{\frac{t}{25}}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{t}{25}} T}{e^{\frac{t}{25}}} = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $T$ por $1$ .

$T = \frac{\frac{16}{5} t}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Combina $\frac{16}{5}$ y $t$ .

$T = \frac{\frac{16 t}{5}}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$T = \frac{16 t}{5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.3.1.3

Combinar.

$T = \frac{16 t \cdot 1}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $16$ por $1$ .

$T = \frac{16 t}{5 e^{\frac{t}{25}}} + \frac{C}{e^{\frac{t}{25}}}$