Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{3} - 3$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot x^{3} + x \cdot - 3$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1} x^{3} + x \cdot - 3$

Paso 2.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{1 + 3} + x \cdot - 3$

Paso 2.3.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} + x \cdot - 3$

Paso 2.3.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x^{4} - 3 x$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} - 3 x$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} - 3 x d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int x^{4} - 3 x d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x y = \int x^{4} d x + \int - 3 x d x$

Paso 6.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C + \int - 3 x d x$

Paso 6.3

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 \int x d x$

Paso 6.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Simplifica.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 6.5.2

Simplifica.

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Paso 6.5.2.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{- 3}{2} x^{2} + C$

Paso 6.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x y = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x^{1}} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{4}}{1} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.5

Divide $\frac{1}{5} x^{4}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{4} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 7.3.1.3.1

Factoriza $x$ de $- \frac{3}{2} x^{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{x (- \frac{3}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{4}}{5} + \frac{- \frac{3}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.3.2.5

Divide $- \frac{3}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3}{2} x + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{x^{4}}{5} - \frac{3 x}{2} + \frac{C}{x}$