Cálculo Ejemplos

$(2 x + 3) d x + (2 y - 2) d y = 0$

Paso 1

Resta $(2 x + 3) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(2 y - 2) d y = - (2 x + 3) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - (2 x + 3) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- (2 x + 3)$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - (2 x) - 1 \cdot 3 d x$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x - 1 \cdot 3 d x$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x - 3 d x$

Paso 2.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - 2 x d x + \int - 3 d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 \int x d x + \int - 3 d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 3 d x$

Paso 2.3.6

Aplica la regla de la constante.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - 3 x + C_{5}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - 3 x + C_{5}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = - x^{2} - 3 x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} - 2 y = - x^{2} - 3 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y + x^{2} = - 3 x + K$

Paso 3.1.2

Suma $3 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y + x^{2} + 3 x = K$

Paso 3.1.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - 2 y + x^{2} + 3 x - K = 0$

Paso 3.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = x^{2} + 3 x - K$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 3 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 3 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} + 3 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (3 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1.4.1

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 12 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5

Factoriza $4$ de $4 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K$ .

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Paso 3.4.1.5.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 - 4 x^{2} - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.2

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) - 12 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.3

Factoriza $4$ de $- 12 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.4

Factoriza $4$ de $4 \cdot 1 + 4 (- x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.5

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 - x^{2}) + 4 (- 3 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 - x^{2} - 3 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.5.6

Factoriza $4$ de $4 \cdot (1 - x^{2} - 3 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6

Reescribe $4 (1 - x^{2} - 3 x + K)$ como $2^{2} (1^{2} - x^{2} - 3 x + K)$ .

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Paso 3.4.1.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.6.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} - x^{2} - 3 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} - x^{2} - 3 x + K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.1.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

Paso 3.5

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 - x^{2} - 3 x + K}$