Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{e^{x}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Combinar.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $y^{3}$ .

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{3}}{y^{3} e^{x}}$

Paso 1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 3}$ con respecto a $y$ es $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.2.3.1

Reescribe $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.2.3.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 2.3.1.2

Simplifica.

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Paso 2.3.1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 2.3.1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 2.3.1.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 1 e^{- x} d x$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y^{2}, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 y^{2}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ por $2 y^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2 y^{2}} = - e^{- x} + K$ por $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2 y^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2 y^{2}}$ al numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - e^{- x} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = - 1 \cdot 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 3.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + K (2 y^{2})$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 = - 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$

Paso 3.2.3.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = - 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2} = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2} e^{- x} + 2 K y^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $2 y^{2}$ de $- 2 y^{2} e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 K y^{2} = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $2 y^{2}$ de $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $2 y^{2}$ de $2 y^{2} (- 1 e^{- x}) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$

Paso 3.3.4

Divide cada término en $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ por $2 (- e^{- x} + K)$ y simplifica.

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Paso 3.3.4.1

Divide cada término en $2 y^{2} (- e^{- x} + K) = - 1$ por $2 (- e^{- x} + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2} (- e^{- x} + K)}{2 (- e^{- x} + K)} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Paso 3.3.4.2.2

Cancela el factor común de $- e^{- x} + K$ .

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Paso 3.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Paso 3.3.4.2.2.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Paso 3.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- e^{- x} + K)}$

Paso 3.3.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- e^{- x}$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) + K)}$

Paso 3.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $K$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x}) - 1 (- K))}$

Paso 3.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- (e^{- x} - K))}$

Paso 3.3.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.3.5.1

Reescribe $- (e^{- x} - K)$ como $- 1 (e^{- x} - K)$ .

$y^{2} = - \frac{1}{2 (- 1 (e^{- x} - K))}$

Paso 3.3.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - - \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Paso 3.3.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Paso 3.3.4.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{2 (e^{- x} - K)}$

Paso 3.3.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$

Paso 3.3.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ .

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Paso 3.3.6.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2 (e^{- x} - K)}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Paso 3.3.6.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Paso 3.3.6.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Paso 3.3.6.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.3.6.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ por $\frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{\sqrt{2 (e^{- x} - K)} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Paso 3.3.6.4.2

Eleva $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} \sqrt{2 (e^{- x} - K)}}$

Paso 3.3.6.4.3

Eleva $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1} {\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1}}$

Paso 3.3.6.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{1 + 1}}$

Paso 3.3.6.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}}$

Paso 3.3.6.4.6

Reescribe ${\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}^{2}$ como $2 (e^{- x} - K)$ .

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Paso 3.3.6.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 (e^{- x} - K)}$ como ${(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{({(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.3.6.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.3.6.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.6.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.3.6.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{{(2 (e^{- x} - K))}^{1}}$

Paso 3.3.6.4.6.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (e^{- x} - K)}}{2 (e^{- x} - K)}$

Paso 3.3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.