Cálculo Ejemplos

$3 \frac{d y}{d x} - 3 e^{x} = 9 x^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Suma $3 e^{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $3 \frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 e^{x}$ por $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x^{2}}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $9$ y $3$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3 (1)} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (3 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{1} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.4

Divide $3 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + \frac{3 e^{x}}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Divide $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + e^{x}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (3 x^{2} + e^{x}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{2} + e^{x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} + e^{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int e^{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int e^{x} d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int e^{x} d x$

Paso 2.3.4

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + e^{x} + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + e^{x} + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{3} + e^{x} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{3} + e^{x} + K$