Cálculo Ejemplos

$x d y = y (x e^{2 x} + 1) d x$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Paso 2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Paso 2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x y} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y x} (y (x e^{2 x} + 1)) d x$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x} (x e^{2 x} + 1) d x$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $x e^{2 x} + 1$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Paso 3.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x} + 1}{x} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x e^{2 x}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.3.2

Divide $e^{2 x}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.4

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.4.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.4.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.3.4.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.3.4.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.8

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 3.3.9

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 3.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{e^{2 x}}{2} + \ln (| x |) + C$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 4.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Paso 4.4

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Paso 4.5

Reescribe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = \frac{e^{2 x}}{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Paso 4.6

Resuelve $y$

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Paso 4.6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ .

$\frac{| y |}{| x |} = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Paso 4.6.2

Multiplica ambos lados por $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Paso 4.6.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.6.3.1

Cancela el factor común de $| x |$ .

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Paso 4.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Paso 4.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y | = e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$

Paso 4.6.4

Resuelve $y$

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Paso 4.6.4.1

Reordena los factores en $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C} | x |$ .

$| y | = | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Paso 4.6.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$

Paso 5

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 5.1

Reescribe $e^{\frac{e^{2 x}}{2} + C}$ como $e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{\frac{e^{2 x}}{2}} e^{C})$

Paso 5.2

Reordena $e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm | x | (e^{C} e^{\frac{e^{2 x}}{2}})$

Paso 5.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C | x | e^{\frac{e^{2 x}}{2}}$