Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{4 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x^{2} e^{4 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} e^{4 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Paso 2.3.2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{1}{4} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4} \cdot 2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 2 \int e^{4 x} (x) d x)$

Paso 2.3.4

Simplifica.

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Paso 2.3.4.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Paso 2.3.4.2

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 2.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 (1)}{4} \int e^{4 x} (x) d x)$

Paso 2.3.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Paso 2.3.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int e^{4 x} (x) d x)$

Paso 2.3.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x)$

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} \int e^{4 x} (x) d x$

Paso 2.3.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Paso 2.3.6.2

Combina $x$ y $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

Paso 2.3.6.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

Paso 2.3.7

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

Paso 2.3.8

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.8.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.8.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3.8.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.3.8.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

Paso 2.3.9

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Paso 2.3.10

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Paso 2.3.11

Simplifica.

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Paso 2.3.11.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.11.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.12

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$

Paso 2.3.13

Simplifica.

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Paso 2.3.13.1

Reescribe $\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C_{2}))$ como $\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13.2

Simplifica.

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Paso 2.3.13.2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.4

Combina $\frac{x}{4}$ y $e^{4 x}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{16}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.6

Para escribir $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.7

Combina $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})$ y $\frac{4}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16}) \cdot 4}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.9

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.10

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.11

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 2.3.13.2.11.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.13.2.11.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.13.2.11.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15

Simplifica.

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Paso 2.3.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.2.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.2.3

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.2.4

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.15.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{4 x}}{16}$ al numerador.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.3.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.3.3

Factoriza $2$ de $16$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.3.4

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.3.5

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.15.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.4.2

Multiplica $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

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Paso 2.3.15.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.15.4.2.2

Multiplica $\frac{e^{4 x}}{8}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{4} + C_{2}$

Paso 2.3.16

Reordena los términos.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{4} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + K$