Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Reordena $5$ y $4 x$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x + 5 - x^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Mueve $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{4 x - x^{2} + 5} d x$

Paso 2.3.3

Reordena $4 x$ y $- x^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x^{3} - 21 x}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.4

Divide $x^{3} - 21 x$ por $- x^{2} + 4 x + 5$ .

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Paso 2.3.4.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Paso 2.3.4.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

Paso 2.3.4.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Paso 2.3.4.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 4 x^{2} - 5 x$ .

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

Paso 2.3.4.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

Paso 2.3.4.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Paso 2.3.4.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $- x^{2}$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

Paso 2.3.4.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Paso 2.3.4.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $4 x^{2} - 16 x - 20$ .

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Paso 2.3.4.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x$

$4$

$x^{2}$

$4 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$0$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$4 x^{2}$

$16 x$

$0$

$4 x^{2}$

$16 x$

$20$

Paso 2.3.4.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$y + C_{1} = \int - x - 4 + \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.5

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int x d x + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.8

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + \int \frac{20}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.10

Dado que $20$ es constante con respecto a $x$ , mueve $20$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{- x^{2} + 4 x + 5} d x$

Paso 2.3.11

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.3.11.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.3.11.1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.11.1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 5 = - 5$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.3.11.1.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{1}{- x^{2} + 4 (x) + 5}$

Paso 2.3.11.1.1.1.2

Reescribe $4$ como $- 1$ más $5$

$\frac{1}{- x^{2} + (- 1 + 5) x + 5}$

Paso 2.3.11.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{- x^{2} - 1 x + 5 x + 5}$

Paso 2.3.11.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.11.1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{1}{(- x^{2} - 1 x) + 5 x + 5}$

Paso 2.3.11.1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{1}{x (- x - 1) - 5 (- x - 1)}$

Paso 2.3.11.1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$\frac{1}{(- x - 1) (x - 5)}$

Paso 2.3.11.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{- x - 1}$

Paso 2.3.11.1.3

$\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(- x - 1) (x - 5)$ .

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.5

Cancela el factor común de $- x - 1$ .

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Paso 2.3.11.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (- x - 1) (x - 5)}{(- x - 1) (x - 5)} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.6

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 2.3.11.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x - 5)}{x - 5} = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.11.1.7.1

Cancela el factor común de $- x - 1$ .

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Paso 2.3.11.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (- x - 1) (x - 5)}{- x - 1} + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.7.1.2

Divide $(A) (x - 5)$ por $1$ .

$1 = (A) (x - 5) + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x + A \cdot - 5 + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.7.3

Mueve $- 5$ a la izquierda de $A$ .

$1 = A x - 5 \cdot A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.7.4

Cancela el factor común de $x - 5$ .

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Paso 2.3.11.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$1 = A x - 5 A + \frac{(B) (- x - 1) (x - 5)}{x - 5}$

Paso 2.3.11.1.7.4.2

Divide $(B) (- x - 1)$ por $1$ .

$1 = A x - 5 A + (B) (- x - 1)$

Paso 2.3.11.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A x - 5 A + B (- x) + B \cdot - 1$

Paso 2.3.11.1.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A x - 5 A - B x + B \cdot - 1$

Paso 2.3.11.1.7.7

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - 1 \cdot B$

Paso 2.3.11.1.7.8

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = A x - 5 A - B x - B$

Paso 2.3.11.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.11.1.8.1

Mueve $B$ .

$1 = A x - 5 A - x B - B$

Paso 2.3.11.1.8.2

Mueve $- 5 A$ .

$1 = A x - x B - 5 A - B$

Paso 2.3.11.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.11.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 1 B$

Paso 2.3.11.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.11.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$0 = A - 1 B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.11.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.3.11.3.1

Resuelve $A$ en $0 = A - 1 B$ .

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Paso 2.3.11.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A - 1 B = 0$ .

$A - 1 B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.11.3.1.2

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$A - B = 0$

$1 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.11.3.1.3

Suma $B$ a ambos lados de la ecuación.

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

$A = B$

$1 = - 5 A - 1 B$

Paso 2.3.11.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $B$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.11.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $1 = - 5 A - 1 B$ por $B$ .

$1 = - 5 B - 1 B$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.11.3.2.2.1

Simplifica $- 5 B - 1 B$ .

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Paso 2.3.11.3.2.2.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$1 = - 5 B - B$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.2.2.1.2

Resta $B$ de $- 5 B$ .

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

$1 = - 6 B$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.3

Resuelve $B$ en $1 = - 6 B$ .

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Paso 2.3.11.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 6 B = 1$ .

$- 6 B = 1$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.3.2

Divide cada término en $- 6 B = 1$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 2.3.11.3.3.2.1

Divide cada término en $- 6 B = 1$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.11.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 2.3.11.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

$B = \frac{1}{- 6}$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.11.3.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = B$

Paso 2.3.11.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- \frac{1}{6}$ en cada ecuación.

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Paso 2.3.11.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = B$ por $- \frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Paso 2.3.11.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.11.3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

$A = - \frac{1}{6}$

$B = - \frac{1}{6}$

Paso 2.3.11.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{6}, B = - \frac{1}{6}$

Paso 2.3.11.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{- x - 1} + \frac{B}{x - 5}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5

Simplifica.

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Paso 2.3.11.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- x - 1} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.2

Multiplica $\frac{1}{- x - 1}$ por $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(- x - 1) \cdot 6} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.3

Mueve $6$ a la izquierda de $- x - 1$ .

$- \frac{1}{6 \cdot (- x - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.4

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.5

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x) - 1 \cdot 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.6

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{1}{6 (- (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.11.5.7.1

Reescribe $- (x + 1)$ como $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{1}{6 (- 1 (x + 1))} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{6 (x + 1)}) + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.7.4

Multiplica $\frac{1}{6 (x + 1)}$ por $1$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} + \frac{- \frac{1}{6}}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 5}$

Paso 2.3.11.5.9

Multiplica $\frac{1}{x - 5}$ por $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{(x - 5) \cdot 6}$

Paso 2.3.11.5.10

Mueve $6$ a la izquierda de $x - 5$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 \int \frac{1}{6 (x + 1)} - \frac{1}{6 (x - 5)} d x$

Paso 2.3.12

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\int \frac{1}{6 (x + 1)} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Paso 2.3.13

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Paso 2.3.14

Sea $u_{1} = x + 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.14.1

Deja $u_{1} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.14.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 2.3.14.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.14.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.14.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.14.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Paso 2.3.15

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) + \int - \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Paso 2.3.16

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \int \frac{1}{6 (x - 5)} d x)$

Paso 2.3.17

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 5} d x))$

Paso 2.3.18

Sea $u_{2} = x - 5$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.18.1

Deja $u_{2} = x - 5$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.18.1.1

Diferencia $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 2.3.18.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.18.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 2.3.18.1.4

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.18.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.18.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 2.3.19

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3} + 20 (\frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C_{4}) - \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{5}))$

Paso 2.3.20

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Paso 2.3.21

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.21.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Paso 2.3.21.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 5$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 20 (\frac{1}{6} \ln (| x + 1 |) - \frac{1}{6} \ln (| x - 5 |)) + C$