Cálculo Ejemplos

$2 x \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{3}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{3}$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $2 x \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{3}$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 1.1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 1.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 x}$

Paso 1.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (x)}$

Paso 1.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 x}$

Paso 1.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- x^{3}}{x}$

Paso 1.1.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 1.1.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{x (- x^{2})}{x}$

Paso 1.1.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{x (- x^{2})}{x^{1}}$

Paso 1.1.3.1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 1.1.3.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{x (- x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 1.1.3.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} + \frac{- x^{2}}{1}$

Paso 1.1.3.1.2.2.5

Divide $- x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{2 x} - x^{2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{5}{2 x} - x^{2}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{5}{2 x} - x^{2} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{2 x} - x^{2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{5}{2 x} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $\frac{5}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{5}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{2} (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{5}{2} (\ln (| x |) + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5}{2} (\ln (| x |) + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{5}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = \frac{5}{2} \ln (| x |) - \frac{1}{3} x^{3} + C$