Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{3 y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{3}}{y^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{3}}{3}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{3}}{3} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{8}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{8}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x^{3} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{8}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ como $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{8}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 4} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{12} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Cancela el factor común de $8$ y $12$ .

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Paso 2.3.3.2.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 (2)}{12} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 3} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{4} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{2}{3} x^{4} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{2}{3} x^{4} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{4}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{2 x^{4}}{3} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{2 x^{4}}{3} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 2 x^{4} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 3 K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $2$ por $y$ en $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K} = 2$

Paso 6.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{2 \cdot 0^{4} + K}$ como ${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(2 \cdot 0^{4} + K)}^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(2 \cdot 0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.3

Simplifica mediante la adición de ceros.

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Paso 6.3.2.1.3.1

Suma $0$ y $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Paso 6.3.2.1.3.2

Simplifica.

$K = 2^{3}$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$K = 8$

Paso 7

Sustituye $8$ por $K$ en $y = \sqrt[3]{2 x^{4} + K}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $8$ por $K$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 8}$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 8$ .

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Paso 7.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4}) + 8}$

Paso 7.2.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \sqrt[3]{2 x^{4} + 2 \cdot 4}$

Paso 7.2.3

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 2 \cdot 4$ .

$y = \sqrt[3]{2 (x^{4} + 4)}$