Cálculo Ejemplos

$x y y' = 1 - x^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ por $x y$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $x y \frac{d y}{d x} = 1 - x^{2}$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Paso 2.1.2.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x^{2}}{x y}$

Paso 2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Paso 2.1.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.3.1.1.2.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x (y)}$

Paso 2.1.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{x (- x)}{x y}$

Paso 2.1.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} + \frac{- x}{y}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Para escribir $- \frac{x}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 2.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $x y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{y x}$

Paso 2.2.2.2

Reordena los factores de $y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y} - \frac{x \cdot x}{x y}$

Paso 2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x \cdot x}{x y}$

Paso 2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x \cdot x}{x y}$

Paso 2.2.4.2

Reescribe $x \cdot x$ como $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - x^{2}}{x y}$

Paso 2.2.4.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Paso 2.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{x y}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{(1 + x) (1 - x)}{y x}$

Paso 2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x}$

Paso 2.6

Reescribe la ecuación.

$y d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Paso 3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 (1 - x) + x (1 - x)}{x} d x$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)}{x} d x$

Paso 3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)}{x} d x$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Reordena $x$ y $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x + x (- x)}{x} d x$

Paso 3.3.4.2

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x + 1 \cdot x - 1 \cdot x \cdot x}{x} d x$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 1 \cdot - 1 x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Paso 3.3.4.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + 1 x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Paso 3.3.4.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - 1 x \cdot x}{x} d x$

Paso 3.3.5

Factoriza el negativo.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x \cdot x)}{x} d x$

Paso 3.3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x)}{x} d x$

Paso 3.3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - (x^{1} x^{1})}{x} d x$

Paso 3.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{1 + 1}}{x} d x$

Paso 3.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x + x - x^{2}}{x} d x$

Paso 3.3.10

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + 0 - x^{2}}{x} d x$

Paso 3.3.11

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.11.1

Resta $x^{2}$ de $0$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 - x^{2}}{x} d x$

Paso 3.3.11.2

Reordena $1$ y $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{- x^{2} + 1}{x} d x$

Paso 3.3.12

Divide $- x^{2} + 1$ por $x$ .

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Paso 3.3.12.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Paso 3.3.12.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Paso 3.3.12.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	+	$0$

Paso 3.3.12.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + 0$ .

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$

Paso 3.3.12.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 3.3.12.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x$
$x$	+	$0$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Paso 3.3.12.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x + \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.13

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.15

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 3.3.16

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 3.3.17

Simplifica.

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Paso 3.3.17.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Paso 3.3.17.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 4.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{2}$ al numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 4.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 4.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} = - x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 4.3

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$y^{2} = - x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Paso 4.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Paso 4.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 4.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 4.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 4.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 4.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 5

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + \ln (x^{2}) + C}$