Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \tan (x) \cos^{2} (y)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\tan (x) \cos^{2} (y))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $\cos^{2} (y)$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $\cos^{2} (y)$ de $\tan (x) \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) \tan (x))$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Paso 1.2.2

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 1.2.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \tan (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int \tan (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ a $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int \tan (x) d x$

Paso 2.2.2

Como la derivada de $\tan (y)$ es $\sec^{2} (y)$ , la integral de $\sec^{2} (y)$ es $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\tan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 3

Resta la inversa de la tangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la tangente.

$y = \arctan (\ln (| \sec (x) |) + C)$