Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = e^{x}$

Paso 1

Integra ambos lados con respecto a $x$ .

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Paso 1.1

La primera derivada es igual a la integral de la segunda derivada con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int e^{x} d x$

Paso 1.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x} + C_{1}$

Paso 2

Reescribe la ecuación.

$d y = (e^{x} + C_{1}) d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{x} + C_{1} d x$

Paso 3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = \int e^{x} + C_{1} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{2} = \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.2

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + C_{2} = e^{x} + C_{3} + \int C_{1} d x$

Paso 3.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{2} = e^{x} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

Paso 3.3.4

Simplifica.

$y + C_{2} = e^{x} + C_{1} x + C_{5}$

Paso 3.3.5

Reordena los términos.

$y + C_{2} = C_{1} x + e^{x} + C_{5}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = C x + e^{x} + D$