Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{2}}{9 y^{2}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{2}}{9 y^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{2}}{y^{2} \cdot 9}$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x^{2}}{y^{2} \cdot 9}$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x^{2}}{9}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$y^{2} d y = \frac{8 x^{2}}{9} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x^{2}}{9} d x$

Paso 2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x^{2}}{9} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{8}{9}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{8}{9}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9} \int x^{2} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{8}{9}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{27} x^{3} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{8}{27} x^{3} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{3} = 3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (\frac{8}{27} x^{3} + K)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Combina $\frac{8}{27}$ y $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{8 x^{3}}{27} + K)$

Paso 3.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{8 x^{3}}{27} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$y^{3} = 3 \frac{8 x^{3}}{3 (9)} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$y^{3} = 3 \frac{8 x^{3}}{3 \cdot 9} + 3 K$

Paso 3.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y^{3} = \frac{8 x^{3}}{9} + 3 K$

Paso 3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + 3 K}$

Paso 3.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + 3 K}$ .

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Paso 3.4.1

Para escribir $3 K$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + 3 K \cdot \frac{9}{9}}$

Paso 3.4.2

Combina $3 K$ y $\frac{9}{9}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3}}{9} + \frac{3 K \cdot 9}{9}}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 3 K \cdot 9}{9}}$

Paso 3.4.4

Multiplica $9$ por $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 27 K}{9}}$

Paso 3.4.5

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{8 x^{3} + 27 K}{9}}$ como $\frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$

Paso 3.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Paso 3.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K}}{\sqrt[3]{9}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{\sqrt[3]{9} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Paso 3.4.7.2

Eleva $\sqrt[3]{9}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1} {\sqrt[3]{9}}^{2}}$

Paso 3.4.7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{1 + 2}}$

Paso 3.4.7.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{\sqrt[3]{9}}^{3}}$

Paso 3.4.7.5

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{3}$ como $9$ .

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Paso 3.4.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{9}$ como $9^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{{(9^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 3.4.7.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 3.4.7.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.7.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.7.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{\frac{3}{3}}}$

Paso 3.4.7.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9^{1}}$

Paso 3.4.7.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} {\sqrt[3]{9}}^{2}}{9}$

Paso 3.4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.8.1

Reescribe ${\sqrt[3]{9}}^{2}$ como $\sqrt[3]{9^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{9^{2}}}{9}$

Paso 3.4.8.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{81}}{9}$

Paso 3.4.8.3

Reescribe $81$ como $3^{3} \cdot 3$ .

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Paso 3.4.8.3.1

Factoriza $27$ de $81$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{27 (3)}}{9}$

Paso 3.4.8.3.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \sqrt[3]{3^{3} \cdot 3}}{9}$

Paso 3.4.8.4

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 27 K} \cdot 3 \sqrt[3]{3}}{9}$

Paso 3.4.8.5

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{9}$

Paso 3.4.9

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.9.1

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 3.4.9.1.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}$ .

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{9}$

Paso 3.4.9.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.9.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.4.9.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 \sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Paso 3.4.9.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3}$

Paso 3.4.9.2

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (8 x^{3} + 27 K)}}{3}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (8 x^{3} + K)}}{3}$