Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$

Paso 1

Para resolver la ecuación diferencial, sea $v = y^{1 - n}$ donde $n$ es el exponente de $y^{4}$ .

$v = y^{- 3}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{3}}$

Paso 3

Calcula la derivada de $y$ con respecto a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{3}}$

Paso 4

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ .

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Paso 4.1

Calcula la derivada de $v^{- \frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1$ y $g (x) = v^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{{(v^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Paso 4.4.2

Multiplica los exponentes en ${(v^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Paso 4.4.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.4.1

Multiplica $v^{\frac{1}{3}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4.4.2

Resta $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.4.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{3}}]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = v$ .

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Paso 4.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.9.2

Resta $3$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{\frac{1}{3} v^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.11

Combina $\frac{1}{3}$ y $v^{- \frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.12

Mueve $v^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}} v'}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.14

Combina $\frac{1}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ y $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.15

Reescribe $\frac{\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}}{v^{\frac{2}{3}}}$ como un producto.

$y' = - (\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{3}}})$

Paso 4.16

Multiplica $\frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}}}$

Paso 4.17

Multiplica $v^{\frac{2}{3}}$ por $v^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.17.1

Mueve $v^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = - \frac{v'}{3 (v^{\frac{2}{3}} v^{\frac{2}{3}})}$

Paso 4.17.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Paso 4.17.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Paso 4.17.4

Suma $2$ y $2$ .

$y' = - \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$

Paso 5

Sustituye $- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ y $v^{- \frac{1}{3}}$ por $y$ en la ecuación original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{3} y = \frac{1}{3} (1 + 3 x) y^{4}$ .

$- \frac{v'}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Paso 6.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.1.1.1

Multiplica cada término en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ por $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1.2.1.1

Cancela el factor común de $3 v^{\frac{4}{3}}$ .

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Paso 6.1.1.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}}$ al numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.1.2

Factoriza $3 v^{\frac{4}{3}}$ de $- (3 v^{\frac{4}{3}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} (- 1)) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{3 v^{\frac{4}{3}}} (3 v^{\frac{4}{3}} \cdot - 1) + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.3

Multiplica $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{- \frac{1}{3}} (- (3 v^{\frac{4}{3}})) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.4

Multiplica $v^{- \frac{1}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.2.1.4.1

Mueve $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{1}{3}}) (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{4 - 1}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.4.4

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{\frac{3}{3}} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.4.5

Divide $3$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.5

Simplifica $\frac{1}{3} v^{1} (- 1 \cdot (3))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{3} v (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (- 1 \cdot (3)) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1.2.1.7.1

Factoriza $3$ de $- 1 \cdot (3)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{3} (3 \cdot - 1) = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} + v \cdot - 1 = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.2.1.9

Reescribe $- 1 v$ como $- v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = \frac{1}{3} (1 + 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 (x))) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (3 x)) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - v = (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} (- (3 v^{\frac{4}{3}}))$

Paso 6.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1.3.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 \cdot 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 (\frac{1}{3} + x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 3 (\frac{1}{3}) - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.1.1.3.6.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (3 (- 1) \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d x} - v = (3 \cdot - 1 \frac{1}{3} - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) {(v^{- \frac{1}{3}})}^{4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.7

Multiplica los exponentes en ${(v^{- \frac{1}{3}})}^{4}$ .

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Paso 6.1.1.3.7.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{1}{3} \cdot 4} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.7.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot 4$ .

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Paso 6.1.1.3.7.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- 4 (\frac{1}{3})} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.7.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{- 4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{- \frac{4}{3}} v^{\frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.8

Multiplica $v^{- \frac{4}{3}}$ por $v^{\frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.3.8.1

Mueve $v^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) (v^{\frac{4}{3}} v^{- \frac{4}{3}})$

Paso 6.1.1.3.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4}{3} - \frac{4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{4 - 4}{3}}$

Paso 6.1.1.3.8.4

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{\frac{0}{3}}$

Paso 6.1.1.3.8.5

Divide $0$ por $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v = (- 1 - 3 x) v^{0}$

Paso 6.1.1.3.9

Simplifica $(- 1 - 3 x) v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - 1 - 3 x$

Paso 6.1.2

Reordena los términos.

$\frac{d v}{d x} - v = - 3 x - 1$

Paso 6.2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 1$ .

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Paso 6.2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d x}$

Paso 6.2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- x + C}$

Paso 6.2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- x}$

Paso 6.3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- x}$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término por $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} + e^{- x} (- v) = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 6.3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = e^{- x} (- 3 x) + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 6.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$

Paso 6.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - 1 \cdot e^{- x}$

Paso 6.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$

Paso 6.3.4

Reordena los factores en $e^{- x} \frac{d v}{d x} - e^{- x} v = - 3 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d v}{d x} - v e^{- x} = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Paso 6.4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} v] = - 3 x e^{- x} - e^{- x}$

Paso 6.5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} v] d x = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Paso 6.6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} - e^{- x} d x$

Paso 6.7

Integra el lado derecho.

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Paso 6.7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- x} v = \int - 3 x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.2

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$e^{- x} v = - 3 \int x e^{- x} d x + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.5

Simplifica.

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Paso 6.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.5.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.6

Sea $u_{1} = - x$ . Entonces $d u_{1} = - d x$ , de modo que $- d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.7.6.1

Deja $u_{1} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.7.6.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 6.7.6.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.7.6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.7.6.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.7.6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.8

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int - e^{- x} d x$

Paso 6.7.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int e^{- x} d x$

Paso 6.7.10

Sea $u_{2} = - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.7.10.1

Deja $u_{2} = - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 6.7.10.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 6.7.10.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.7.10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.7.10.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.7.10.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.7.11

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.7.12

Simplifica.

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Paso 6.7.12.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.7.12.2

Multiplica $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ por $1$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 6.7.13

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- x} v = - 3 (x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C)) + e^{u_{2}} + C$

Paso 6.7.14

Simplifica.

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{u_{1}}) + e^{u_{2}} + C$

Paso 6.7.15

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 6.7.15.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{u_{2}} + C$

Paso 6.7.15.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$

Paso 6.8

Divide cada término en $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ y simplifica.

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Paso 6.8.1

Divide cada término en $e^{- x} v = - 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C$ por $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- x}$ .

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Paso 6.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- x} v}{e^{- x}} = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x})}{e^{- x}} + \frac{e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.8.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x} - e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.8.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = \frac{- 3 (- x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$v = \frac{3 (x e^{- x}) - 3 (- e^{- x}) + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 3 e^{- x} + e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 6.8.3.3

Suma $3 e^{- x}$ y $e^{- x}$ .

$v = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$

Paso 7

Sustituye $y^{- 3}$ por $v$ .

$y^{- 3} = \frac{3 x e^{- x} + 4 e^{- x} + C}{e^{- x}}$