Cálculo Ejemplos

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + (x^{4} \cos (y)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x + 3 x^{3} \sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 3 x^{3} \sin (y)]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3 x^{3} \sin (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Paso 1.2.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [3 x^{3} \sin (y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $3 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x^{3} \sin (y)$ con respecto a $y$ es $3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 x^{3} \cos (y)$

Paso 1.4

Suma $0$ y $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{3} \cos (y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{4} \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} \cos (y)]$

Paso 2.2

Como $\cos (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{4} \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (4 x^{3})$

Paso 2.4

Reordena.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\cos (y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 \cdot \cos (y) x^{3}$

Paso 2.4.2

Reordena los factores de $4 \cos (y) x^{3}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} \cos (y)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $3 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 x^{3} \cos (y)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$3 x^{3} \cos (y) = 4 x^{3} \cos (y)$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $3 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $4 x^{3} \cos (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x^{4} \cos (y)$ por $N$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Sustituye $x^{4} \cos (y)$ por $N$ .

$\frac{3 x^{3} \cos (y) - (4 x^{3} \cos (y))}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1

Factoriza $x^{3} \cos (y)$ de $3 x^{3} \cos (y) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $x^{3} \cos (y)$ de $3 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) - 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $x^{3} \cos (y)$ de $- 1 \cdot 4 x^{3} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $x^{3} \cos (y)$ de $x^{3} \cos (y) (3) + x^{3} \cos (y) (- 1 \cdot 4)$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 1 \cdot 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) (3 - 4)}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.2.3

Resta $4$ de $3$ .

$\frac{x^{3} \cos (y) \cdot - 1}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} \cos (y) \cdot - 1$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{4} \cos (y)}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} \cos (y)$ .

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (\cos (y) \cdot - 1)}{x^{3} (x \cos (y))}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (y) \cdot - 1}{x \cos (y)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x}$

Paso 4.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| x |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(x + 3 x^{3} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Multiplica $x + 3 x^{3} \sin (y)$ por $\frac{1}{x}$ .

$(x + 3 x^{3} \sin (y)) \frac{1}{x} d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$(x \frac{1}{x} + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$(1 + 3 x^{3} \sin (y) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Factoriza $x$ de $3 x^{3} \sin (y)$ .

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.4.2

Cancela el factor común.

$(1 + x (3 x^{2} \sin (y)) \frac{1}{x}) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.4.3

Reescribe la expresión.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x^{4} \cos (y)$ por $\frac{1}{x}$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{4} \cos (y) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 6.6

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.6.1

Factoriza $x$ de $x^{4} \cos (y)$ .

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 6.6.2

Cancela el factor común.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x (x^{3} \cos (y)) \frac{1}{x} d y = 0$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión.

$(1 + 3 x^{2} \sin (y)) d x + x^{3} \cos (y) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} \cos (y) d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = x^{3} \cos (y)$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Dado que $x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x^{3}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{3} \int \cos (y) d y$

Paso 8.2

La integral de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} (\sin (y) + C)$

Paso 8.3

Simplifica.

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y) + g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} \sin (y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{3} \sin (y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Como $\sin (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{3} \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\sin (y) (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $\sin (y)$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$3 \sin (y) x^{2} + \frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} \sin (y) = 1 + 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.1

Resta $3 x^{2} \sin (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $1 + 3 x^{2} \sin (y) - 3 x^{2} \sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1.2.1

Resta $3 x^{2} \sin (y)$ de $3 x^{2} \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = 1 + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $1$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Paso 13.3

Aplica la regla de la constante.

$g (x) = x + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = x^{3} \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{3} \sin (y) + x + C$