Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 6$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(6 + x)}^{2}} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 6 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 6 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $6 + x$ .

$\frac{d}{d x} [6 + x]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Paso 2.3.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.3.3.1

Mueve $u^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Paso 2.3.3.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Paso 2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 2}$ con respecto a $u$ es $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Reescribe $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ como $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

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Paso 2.3.5.2.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.2

Combina $- 7$ y $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.5.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{6 + x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $6$ por $y$ en $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ .

$6 = - \frac{7}{6 + 0} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$ .

$- \frac{7}{6 + 0} + K = 6$

Paso 4.2

Suma $6$ y $0$ .

$- \frac{7}{6} + K = 6$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $\frac{7}{6}$ a ambos lados de la ecuación.

$K = 6 + \frac{7}{6}$

Paso 4.3.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$K = 6 \cdot \frac{6}{6} + \frac{7}{6}$

Paso 4.3.3

Combina $6$ y $\frac{6}{6}$ .

$K = \frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{7}{6}$

Paso 4.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$K = \frac{6 \cdot 6 + 7}{6}$

Paso 4.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.5.1

Multiplica $6$ por $6$ .

$K = \frac{36 + 7}{6}$

Paso 4.3.5.2

Suma $36$ y $7$ .

$K = \frac{43}{6}$

Paso 5

Sustituye $\frac{43}{6}$ por $K$ en $y = - \frac{7}{6 + x} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $\frac{43}{6}$ por $K$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} + \frac{43}{6}$

Paso 5.2

Para escribir $- \frac{7}{6 + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{43}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7}{6 + x} \cdot \frac{6}{6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Paso 5.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(6 + x) \cdot 6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $\frac{7}{6 + x}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43}{6} \cdot \frac{6 + x}{6 + x}$

Paso 5.4.2

Multiplica $\frac{43}{6}$ por $\frac{6 + x}{6 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{(6 + x) \cdot 6} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Paso 5.4.3

Reordena los factores de $(6 + x) \cdot 6$ .

$y = - \frac{7 \cdot 6}{6 (6 + x)} + \frac{43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 7 \cdot 6 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Paso 5.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 7$ por $6$ .

$y = \frac{- 42 + 43 (6 + x)}{6 (6 + x)}$

Paso 5.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 42 + 43 \cdot 6 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Paso 5.6.3

Multiplica $43$ por $6$ .

$y = \frac{- 42 + 258 + 43 x}{6 (6 + x)}$

Paso 5.6.4

Suma $- 42$ y $258$ .

$y = \frac{216 + 43 x}{6 (6 + x)}$