Cálculo Ejemplos

$2 w t \frac{d t}{d w} = t^{2} - 2 w^{3}$

Paso 1

Sea $v = t^{2}$ . Sustituye $v$ por todos los casos de $t^{2}$ .

$2 w t \frac{d t}{d w} = v - 2 w^{3}$

Paso 2

Obtén $\frac{d v}{d w}$ mediante la diferenciación de $t^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = w^{2}$ y $g (w) = t$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $t$ .

$\frac{d v}{d w} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d w} [t]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 u \frac{d}{d w} [t]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t \frac{d}{d w} [t]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d w} [t]$ como $t'$ .

$\frac{d v}{d w} = 2 t t'$

Paso 3

Vuelve a sustituir la derivada en la ecuación diferencial.

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Paso 3.1

Factoriza $2 t$ de $2 w t$ .

$2 t (w) \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Paso 3.2

Cancela el factor común.

$2 t w \frac{\frac{d v}{d w}}{2 t} = v - 2 w^{3}$

Paso 3.3

Reescribe la expresión.

$w \frac{d v}{d w} = v - 2 w^{3}$

Paso 4

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d v}{d w} + M (w) v = Q (w)$ .

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Paso 4.1

Resta $v$ de ambos lados de la ecuación.

$w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$

Paso 4.2

Divide cada término en $w \frac{d v}{d w} - v = - 2 w^{3}$ por $w$ .

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $w$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{w \frac{d v}{d w}}{w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Paso 4.3.2

Divide $\frac{d v}{d w}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{3}}{w}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $w^{3}$ y $w$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $w$ de $- 2 w^{3}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w}$

Paso 4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w^{1}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $w$ de $w^{1}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Paso 4.4.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{w (- 2 w^{2})}{w \cdot 1}$

Paso 4.4.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = \frac{- 2 w^{2}}{1}$

Paso 4.4.2.5

Divide $- 2 w^{2}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- v}{w} = - 2 w^{2}$

Paso 4.5

Factoriza $v$ de $\frac{- v}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + v \frac{- 1}{w} = - 2 w^{2}$

Paso 4.6

Reordena $v$ y $\frac{- 1}{w}$ .

$\frac{d v}{d w} + \frac{- 1}{w} v = - 2 w^{2}$

Paso 5

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (w) d w}$ , donde $P (w) = \frac{- 1}{w}$ .

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Paso 5.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{- 1}{w} d w}$

Paso 5.2

Integra $\frac{- 1}{w}$ .

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Paso 5.2.1

Divide la fracción en varias fracciones.

$e^{\int - \frac{1}{w} d w}$

Paso 5.2.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $w$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{w} d w}$

Paso 5.2.3

La integral de $\frac{1}{w}$ con respecto a $w$ es $\ln (| w |)$ .

$e^{- (\ln (| w |) + C)}$

Paso 5.2.4

Simplifica.

$e^{- \ln (| w |) + C}$

Paso 5.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (w)}$

Paso 5.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (w^{- 1})}$

Paso 5.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$w^{- 1}$

Paso 5.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{w}$

Paso 6

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{w}$ .

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Paso 6.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{w}$ .

$\frac{1}{w} \frac{d v}{d w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{w}$ y $\frac{d v}{d w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (\frac{- 1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} + \frac{1}{w} (- \frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} (\frac{1}{w} v) = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.4

Combina $\frac{1}{w}$ y $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.5

Multiplica $- \frac{1}{w} \cdot \frac{v}{w}$ .

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $\frac{v}{w}$ por $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w \cdot w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.5.2

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.5.3

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1} w^{1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{1 + 1}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{1}{w} (- 2 w^{2})$

Paso 6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 \frac{1}{w} w^{2}$

Paso 6.4

Combina $- 2$ y $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} w^{2}$

Paso 6.5

Cancela el factor común de $w$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $w$ de $w^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Paso 6.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = \frac{- 2}{w} (w \cdot w)$

Paso 6.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{d v}{d w}}{w} - \frac{v}{w^{2}} = - 2 w$

Paso 7

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] = - 2 w$

Paso 8

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d w} [\frac{1}{w} v] d w = \int - 2 w d w$

Paso 9

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{w} v = \int - 2 w d w$

Paso 10

Integra el lado derecho.

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Paso 10.1

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $w$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{w} v = - 2 \int w d w$

Paso 10.2

Según la regla de la potencia, la integral de $w$ con respecto a $w$ es $\frac{1}{2} w^{2}$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$

Paso 10.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.3.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} w^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$ .

$\frac{1}{w} v = - 2 (\frac{1}{2}) w^{2} + C$

Paso 10.3.2

Simplifica.

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Paso 10.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{- 2}{2} w^{2} + C$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 10.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2} w^{2} + C$

Paso 10.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} w^{2} + C$

Paso 10.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{w} v = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} w^{2} + C$

Paso 10.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{w} v = \frac{- 1}{1} w^{2} + C$

Paso 10.3.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{w} v = - w^{2} + C$

Paso 11

Resuelve $v$

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{w}$ y $v$ .

$\frac{v}{w} = - w^{2} + C$

Paso 11.2

Multiplica ambos lados por $w$ .

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.3.1.1

Cancela el factor común de $w$ .

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Paso 11.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{v}{w} w = (- w^{2} + C) w$

Paso 11.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$v = (- w^{2} + C) w$

Paso 11.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.3.2.1

Simplifica $(- w^{2} + C) w$ .

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Paso 11.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v = - w^{2} w + C w$

Paso 11.3.2.1.2

Multiplica $w^{2}$ por $w$ sumando los exponentes.

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Paso 11.3.2.1.2.1

Mueve $w$ .

$v = - (w \cdot w^{2}) + C w$

Paso 11.3.2.1.2.2

Multiplica $w$ por $w^{2}$ .

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Paso 11.3.2.1.2.2.1

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$v = - (w^{1} w^{2}) + C w$

Paso 11.3.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v = - w^{1 + 2} + C w$

Paso 11.3.2.1.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$v = - w^{3} + C w$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $v$ con $t^{2}$ .

$t^{2} = - w^{3} + C w$

Paso 13

Resuelve $t$

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Paso 13.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$t = \pm \sqrt{- w^{3} + C w}$

Paso 13.2

Factoriza $w$ de $- w^{3} + C w$ .

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Paso 13.2.1

Factoriza $w$ de $- w^{3}$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + C w}$

Paso 13.2.2

Factoriza $w$ de $C w$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2}) + w C}$

Paso 13.2.3

Factoriza $w$ de $w (- w^{2}) + w C$ .

$t = \pm \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Paso 13.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 13.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Paso 13.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

Paso 13.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = \sqrt{w (- w^{2} + C)}$

$t = - \sqrt{w (- w^{2} + C)}$