Cálculo Ejemplos

$y^{2} d x + (x y - 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{2}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y - 1$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - 1]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + 0$

Paso 2.4.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = y$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - (2 y)}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y^{2}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y^{2}$ por $M$ .

$\frac{y - (2 y)}{y^{2}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $y$ de $y - 1 \cdot 2 y$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{1} - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Paso 4.3.2.1.2

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$\frac{y \cdot 1 - 1 \cdot 2 y}{y^{2}}$

Paso 4.3.2.1.3

Factoriza $y$ de $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Paso 4.3.2.1.4

Factoriza $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (1 - 1 \cdot 2)}{y^{2}}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y (1 - 2)}{y^{2}}$

Paso 4.3.2.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{y^{2}}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $y$ y $y^{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- 1)}{y^{2}}$

Paso 4.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y (- 1)}{y \cdot y}$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{y \cdot - 1}{y \cdot y}$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y}$

Paso 4.3.4

Sustituye $y^{2}$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $y^{2} d x + (x y - 1) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y^{2}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y^{2} \frac{1}{y} d x + (x y - 1) d y = 0$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y - 1) d y = 0$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común.

$y \cdot y \frac{1}{y} d x + (x y - 1) d y = 0$

Paso 6.2.3

Reescribe la expresión.

$y d x + (x y - 1) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x y - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$y d x + (x y - 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.4

Multiplica $x y - 1$ por $\frac{1}{y}$ .

$y d x + \frac{x y - 1}{y} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y x + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x = \frac{x y - 1}{y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y - 1}{y} - x$

Paso 12.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.2.1

Divide la fracción $\frac{x y - 1}{y}$ en dos fracciones.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Paso 12.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x y}{y} + \frac{- 1}{y} - x$

Paso 12.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{- 1}{y} - x$

Paso 12.1.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d g}{d y} = x - \frac{1}{y} - x$

Paso 12.1.3

Combina los términos opuestos en $x - \frac{1}{y} - x$ .

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Paso 12.1.3.1

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Paso 12.1.3.2

Suma $- \frac{1}{y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $- \frac{1}{y}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Paso 13.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Paso 13.4

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Paso 13.5

Simplifica.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \ln (| y |) + C$