Cálculo Ejemplos

$x (1 + y^{2}) d x - y (1 + x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $x (1 + y^{2}) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$- y (1 + x^{2}) d y = - x (1 + y^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $1 + x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ al numerador.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2.2

Factoriza $1 + x^{2}$ de $y (1 + x^{2})$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} ((1 + x^{2}) y) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.3

Combina $\frac{- 1}{1 + y^{2}}$ y $y$ .

$\frac{- y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (- x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $1 + y^{2}$ .

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Paso 3.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ al numerador.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.6.2

Factoriza $1 + y^{2}$ de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} (x (1 + y^{2})) d x$

Paso 3.6.3

Factoriza $1 + y^{2}$ de $x (1 + y^{2})$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Paso 3.6.4

Cancela el factor común.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})} ((1 + y^{2}) x) d x$

Paso 3.6.5

Reescribe la expresión.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} x d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$ y $x$ .

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{- x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int - \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.2

Sea $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Entonces $d u_{1} = 2 y d y$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Deja $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1.1

Diferencia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Paso 4.2.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 4.2.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Paso 4.2.2.1.5

Suma $0$ y $2 y$ .

$2 y$

Paso 4.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Paso 4.3.2

Sea $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u_{2} = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.2.1

Deja $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.3.2.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 4.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 4.3.3

Simplifica.

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Paso 4.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 4.3.6

Simplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 4.3.7

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Combina $\ln (| 1 + y^{2} |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| 1 + y^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + x^{2} |) + C)$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Combina $\ln (| 1 + x^{2} |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C)$

Paso 5.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 (- \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 5.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - 2 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (- 1) \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2.1.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + C \cdot 2)$

Paso 5.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - (- \ln (| 1 + x^{2} |) + 2 C)$

Paso 5.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = - - \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Paso 5.2.2.1.6

Multiplica $- - \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Paso 5.2.2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 1 \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Paso 5.2.2.1.6.2

Multiplica $\ln (| 1 + x^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - (2 C)$

Paso 5.2.2.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| 1 + x^{2} |) - 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - 2 C$

Paso 5.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$

Paso 5.5

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- 2 C}$

Paso 5.6

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}) = - 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |}$

Paso 5.7

Resuelve $y$

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Paso 5.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- 2 C}$

Paso 5.7.2

Multiplica ambos lados por $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.3.1

Cancela el factor común de $| 1 + x^{2} |$ .

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Paso 5.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 5.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + y^{2} | = e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 5.7.4

Resuelve $y$

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Paso 5.7.4.1

Reordena los factores en $e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$ .

$| 1 + y^{2} | = | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

Paso 5.7.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$

Paso 5.7.4.3

Reordena los factores en $\pm | 1 + x^{2} | e^{- 2 C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} |$

Paso 5.7.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = \pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1$

Paso 5.7.4.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{- 2 C} | 1 + x^{2} | - 1}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \sqrt{\pm C | 1 + x^{2} | - 1}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \pm \sqrt{C | 1 + x^{2} | - 1}$