Cálculo Ejemplos

$5 \frac{d y}{d x} + 2 x = 3$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $5 \frac{d y}{d x} = 3 - 2 x$ por $5$ .

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 \frac{d y}{d x}}{5} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} + \frac{- 2 x}{5}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = (\frac{3}{5} - \frac{2 x}{5}) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} - \frac{2 x}{5} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{5} d x + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} + \int - \frac{2 x}{5} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \int \frac{2 x}{5} d x$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{5}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - (\frac{2}{5} \int x d x)$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x + C_{2} - \frac{2}{5} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2}{10} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $10$ .

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Paso 2.3.6.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 (1)}{10} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{3}{5} x - \frac{1}{5} x^{2} + K$