Cálculo Ejemplos

$6 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x} = 12 x^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Combina $\frac{1}{y}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$6 x + \frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2}$

Paso 1.1.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} = 12 x^{2} - 6 x$

Paso 1.1.3

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.4.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.1.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{y} y = (12 x^{2} - 6 x) y$

Paso 1.1.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = (12 x^{2} - 6 x) y$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} y - 6 x y$

Paso 1.2

Factoriza $6 x y$ de $12 x^{2} y - 6 x y$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $6 x y$ de $12 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) - 6 x y$

Paso 1.2.2

Factoriza $6 x y$ de $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$

Paso 1.2.3

Factoriza $6 x y$ de $6 x y (2 x) + 6 x y (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x y (2 x - 1)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 x y (2 x - 1))$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (x y (2 x - 1))$

Paso 1.4.2

Combina $6$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (x y (2 x - 1))$

Paso 1.4.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.4.3.1

Factoriza $y$ de $x y (2 x - 1)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Paso 1.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y (x (2 x - 1)))$

Paso 1.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x - 1))$

Paso 1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (x (2 x) + x \cdot - 1)$

Paso 1.4.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x + x \cdot - 1)$

Paso 1.4.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x \cdot x - 1 \cdot x)$

Paso 1.4.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.7.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.7.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x)$

Paso 1.4.7.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - 1 \cdot x)$

Paso 1.4.7.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2} - x)$

Paso 1.4.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 (2 x^{2}) + 6 (- x)$

Paso 1.4.9

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} + 6 (- x)$

Paso 1.4.10

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 6 x$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = (12 x^{2} - 6 x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} - 6 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 12 x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Paso 2.3.2

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 \int x^{2} d x + \int - 6 x d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 6 x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $- 6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 6$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 \int x d x$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

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Paso 2.3.6.1

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2

Simplifica.

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Paso 2.3.6.2.1

Combina $12$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{12}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 2.3.6.2.2.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.3

Combina $- 6$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 2.3.6.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.6.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} + \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.6.2.4.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{4 x^{3} - 3 x^{2} + C}$ como $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{4 x^{3} - 3 x^{2}} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{4 x^{3} - 3 x^{2}}$