Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \sin (x)$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 2$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 2 d x}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{2 x + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{2 x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{2 x}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} \sin (x)$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$

Paso 2.3

Reordena los factores en $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} \sin (x)$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = e^{2 x} \sin (x)$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = e^{2 x} \sin (x)$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{2 x} y = \int e^{2 x} \sin (x) d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Reordena $e^{2 x}$ y $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = \int \sin (x) e^{2 x} d x$

Paso 6.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (x)$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x$

Paso 6.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Paso 6.4

Combina fracciones.

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Paso 6.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Paso 6.4.2

Combina $\sin (x)$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Paso 6.4.3

Reordena $e^{2 x}$ y $\cos (x)$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (x) e^{2 x} d x)$

Paso 6.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (x)$ y $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x))$

Paso 6.6

Dado que $\frac{1}{2} \cdot - 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2} \cdot - 1$ fuera de la integral.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Paso 6.7

Simplifica los términos.

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Paso 6.7.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Paso 6.7.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Paso 6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} (\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)))$

Paso 6.7.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Paso 6.7.5

Multiplica $\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Paso 6.7.6

Multiplica.

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Paso 6.7.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} - \frac{1}{2} (- (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x))$

Paso 6.7.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + 1 (\frac{1}{2}) (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.7.6.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Paso 6.7.7

Multiplica $\frac{- 1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Paso 6.7.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$e^{2 x} y = \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x$

Paso 6.8

Al resolver $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ , obtenemos que $\int e^{2 x} \sin (x) d x$ = $\frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$e^{2 x} y = \frac{\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Paso 6.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.9.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{5}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Paso 6.9.2

Reescribe $(\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ como $(\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \sin (x) e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Paso 6.9.3

Simplifica.

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Paso 6.9.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (x)$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x)}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Paso 6.9.3.2

Combina $\frac{\sin (x)}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \cos (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Paso 6.9.3.3

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\cos (x)}{4} e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$

Paso 6.9.3.4

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{\cos (x)}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x} \cos (x)}{4}) \frac{4}{5} + C$

Paso 6.9.4

Reordena los factores en $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} e^{2 x} \sin (x) - \frac{1}{4} e^{2 x} \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Paso 7

Resuelve $y$

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{e^{2 x}}{4} \cdot \cos (x)) \frac{4}{5} + C$

Paso 7.1.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{e^{2 x}}{4}$ .

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Paso 7.1.3

Elimina los paréntesis.

$e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Paso 7.2

Divide cada término en $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ por $e^{2 x}$ y simplifica.

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $e^{2 x} y = (\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5}) + C$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{(\frac{1}{2} \cdot (e^{2 x} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) (\frac{4}{5})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.3.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.3.1.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

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Paso 7.2.3.1.1.1.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} \sin (x)$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) - \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.2

Factoriza $e^{2 x}$ de $- \frac{\cos (x) e^{2 x}}{4}$ .

$y = \frac{(e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.1.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x)) + e^{2 x} (- \frac{\cos (x)}{4})$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{1}{2} \sin (x) - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (x)$ .

$y = \frac{e^{2 x} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) \frac{4}{5}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.1.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $e^{2 x}$ .

$y = \frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.2

Factoriza $\frac{4 e^{2 x}}{5}$ de $\frac{\frac{4 e^{2 x}}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4})}{e^{2 x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 x}}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ .

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Paso 7.2.3.1.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $4 e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.3.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{e^{2 x} \cdot 4}{5} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.3.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{4}{5} (\frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{4}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{2 (2)}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \cdot 2}{5} \cdot \frac{\sin (x)}{2} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{5} \sin (x) + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.6

Combina $\frac{2}{5}$ y $\sin (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} (- \frac{\cos (x)}{4}) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.7

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.3.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\cos (x)}{4}$ al numerador.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.7.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{4}{5} \cdot \frac{- \cos (x)}{4} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.7.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} + \frac{1}{5} (- \cos (x)) + \frac{C}{e^{2 x}}$

Paso 7.2.3.1.8

Combina $\frac{1}{5}$ y $\cos (x)$ .

$y = \frac{2 \sin (x)}{5} - \frac{\cos (x)}{5} + \frac{C}{e^{2 x}}$