Cálculo Ejemplos

$y^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y^{3} = 6 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $2 x y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ por $y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x - 2 x y^{3}$ por $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Cancela el factor común de $y^{3}$ y $y^{2}$ .

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Paso 1.1.2.3.1.1

Factoriza $y^{2}$ de $- 2 x y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{y^{2} (- 2 x y)}{y^{2} \cdot 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} + \frac{- 2 x y}{1}$

Paso 1.1.2.3.1.2.4

Divide $- 2 x y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza $2 x$ de $\frac{6 x}{y^{2}} - 2 x y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $2 x$ de $\frac{6 x}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} - 2 x y$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x \frac{3}{y^{2}} + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - 1 y)$

Paso 1.2.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y)$

Paso 1.2.3

Para escribir $- y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} - y \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}})$

Paso 1.2.4

Combina $- y$ y $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (\frac{3}{y^{2}} + \frac{- y \cdot y^{2}}{y^{2}})$

Paso 1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y \cdot y^{2}}{y^{2}}$

Paso 1.2.6

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.6.1

Mueve $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y)}{y^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - (y^{2} y^{1})}{y^{2}}$

Paso 1.2.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{2 + 1}}{y^{2}}$

Paso 1.2.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.2.7

Combina exponentes.

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Paso 1.2.7.1

Combina $2$ y $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.2.7.2

Combina $x$ y $\frac{2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 (3 - y^{3}))}{y^{2}}$

Paso 1.2.8

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = 2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (2 x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Paso 1.5.2

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{3 - y^{3}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} (x \frac{3 - y^{3}}{y^{2}})$

Paso 1.5.3

Combina $x$ y $\frac{3 - y^{3}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2}}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.4.1

Factoriza $y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.5.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 2}{3 - y^{3}} \cdot \frac{x (3 - y^{3})}{y^{2}}$

Paso 1.5.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} (x (3 - y^{3}))$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $3 - y^{3}$ .

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Paso 1.5.5.1

Factoriza $3 - y^{3}$ de $x (3 - y^{3})$ .

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Paso 1.5.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 - y^{3}} ((3 - y^{3}) x)$

Paso 1.5.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = 2 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{3 - y^{3}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Reescribe $y^{3}$ como ${(y^{3})}^{1}$ .

$\int \frac{y^{2}}{3 - {(y^{3})}^{1}} d y = \int 2 x d x$

Paso 2.2.2

Sea $u_{1} = y^{3}$ . Entonces $d u_{1} = 3 y^{2} d y$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{1} = y^{2} d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Deja $u_{1} = y^{3}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Diferencia $y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}]$

Paso 2.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 y^{2}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 - {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica.

$\int \frac{1}{3 - u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{3 - u_{1}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{(3 - u_{1}) \cdot 3} d u_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.3.3

Mueve $3$ a la izquierda de $3 - u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 (3 - u_{1})} d u_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 - u_{1}} d u_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.5

Sea $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = - d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.5.1

Deja $u_{2} = 3 - u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.2.5.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.5.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int 2 x d x$

Paso 2.2.8

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{1})) = \int 2 x d x$

Paso 2.2.9

Simplifica.

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Paso 2.2.9.1

Simplifica.

$\frac{1}{3} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{\ln (| u_{2} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $3 - u_{1}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - u_{1} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{3}$ .

$- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.2.11

Reordena los términos.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |) = x^{2} + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |)) = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 - y^{3} |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\ln (| 3 - y^{3} |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 3 - y^{3} |)}{3}$ al numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - y^{3} |)}{3} = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$- - \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Multiplica $\ln (| 3 - y^{3} |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 (x^{2} + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 3 - y^{3} |)} = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (| 3 - y^{3} |) = - 3 x^{2} - 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x^{2} - 3 C} = | 3 - y^{3} |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$ .

$| 3 - y^{3} | = e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Paso 3.5.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$3 - y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}$

Paso 3.5.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$

Paso 3.5.4

Divide cada término en $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.4.1

Divide cada término en $- y^{3} = \pm e^{- 3 x^{2} - 3 C} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.5.4.2.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.4.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.5.4.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ como $- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C})$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Paso 3.5.4.3.1.3

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3$

Paso 3.5.5

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} - 3 C}) + 3}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2} + C}) + 3}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- 3 x^{2} + C}$ como $e^{- 3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{- 3 x^{2}} e^{C}) + 3}$

Paso 4.3

Reordena $e^{- 3 x^{2}}$ y $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\pm e^{C} e^{- 3 x^{2}}) + 3}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = \sqrt[3]{- (C e^{- 3 x^{2}}) + 3}$