Cálculo Ejemplos

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Paso 1

Comprueba si el lado izquierdo de la ecuación es el resultado de la derivada del término $(1 + e^{x}) y$ .

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 + e^{x}$ y $g (x) = y$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(1 + e^{x}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(1 + e^{x}) y' + y (0 + e^{x})$

Paso 1.6

Suma $0$ y $e^{x}$ .

$(1 + e^{x}) y' + y e^{x}$

Paso 1.7

Sustituye $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(1 + e^{x}) \frac{d y}{d x} + y e^{x}$

Paso 2

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] = 0$

Paso 3

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + e^{x}) y] d x = \int 0 d x$

Paso 4

Integra el lado izquierdo.

$(1 + e^{x}) y = \int 0 d x$

Paso 5

Integra el lado derecho.

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Paso 5.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(1 + e^{x}) y = 0 + C$

Paso 5.2

Suma $0$ y $C$ .

$(1 + e^{x}) y = C$

Paso 6

Divide cada término en $(1 + e^{x}) y = C$ por $1 + e^{x}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $(1 + e^{x}) y = C$ por $1 + e^{x}$ .

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $1 + e^{x}$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + e^{x}) y}{1 + e^{x}} = \frac{C}{1 + e^{x}}$

Paso 6.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{1 + e^{x}}$