Cálculo Ejemplos

$(e^{x} + 1) d x + \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = 0$

Paso 1

Resta $(e^{x} + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{y^{2} - 1}{y^{2}} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int (y^{2} - 1) y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.2

Multiplica $(y^{2} - 1) y^{- 2}$ .

$\int y^{2} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.3

Simplifica.

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $y^{2}$ por $y^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int y^{2 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.3.1.2

Resta $2$ de $2$ .

$\int y^{0} - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.3.2

Simplifica $y^{0}$ .

$\int 1 - 1 y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.3.3

Reescribe $- 1 y^{- 2}$ como $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.5

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.7

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.8

Simplifica.

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Paso 2.2.8.1

Simplifica.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.8.2

Simplifica.

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Paso 2.2.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.2.8.2.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - \int e^{x} + 1 d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (\int e^{x} d x + \int d x)$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + \int d x)$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + C_{4} + x + C_{5})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = - (e^{x} + x) + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y + \frac{1}{y} = - (e^{x} + x) + K$