Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = \frac{(2 t + 1) (2 s - 1)}{2 (t^{2} + t)}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Reagrupa los factores.

$\frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1)$

Paso 1.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{2 s - 1}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} (\frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1))$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Cancela el factor común de $2 s - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.1

Factoriza $2 s - 1$ de $\frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)} (2 s - 1)$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} ((2 s - 1) \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)})$

Paso 1.3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{2 s - 1} ((2 s - 1) \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)})$

Paso 1.3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t^{2} + t)}$

Paso 1.3.2

Factoriza $t$ de $t^{2} + t$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t)}$

Paso 1.3.2.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t^{1})}$

Paso 1.3.2.3

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t \cdot t + t \cdot 1)}$

Paso 1.3.2.4

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot 1$ .

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 (t (t + 1))}$

$\frac{1}{2 s - 1} \frac{d s}{d t} = \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)}$

Paso 1.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{2 s - 1} d s = \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{2 s - 1} d s = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 s - 1$ . Entonces $d u_{1} = 2 d s$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d s$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 s - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $2 s - 1$ .

$\frac{d}{d s} [2 s - 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 s - 1$ con respecto a $s$ es $\frac{d}{d s} [2 s] + \frac{d}{d s} [- 1]$ .

$\frac{d}{d s} [2 s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d s} [2 s]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $2 s$ con respecto a $s$ es $2 \frac{d}{d s} [s]$ .

$2 \frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ es $n s^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d s} [- 1]$

Paso 2.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $s$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $s$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.2.1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2.4

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.2.6

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 s - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 t + 1}{2 t (t + 1)} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{2 t + 1}{t (t + 1)} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u_{2} = t (t + 1)$ . Entonces $d u_{2} = (2 t + 1) d t$ , de modo que $\frac{1}{2 t + 1} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{2} = t (t + 1)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $t (t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t (t + 1)]$

Paso 2.3.2.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t$ y $g (t) = t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [t + 1] + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t (1 + \frac{d}{d t} [1]) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$t (1 + 0) + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.2.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$t \cdot 1 + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3.4.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$t + (t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Paso 2.3.2.1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$t + (t + 1) \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.3.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.2.1.3.6.1

Multiplica $t + 1$ por $1$ .

$t + t + 1$

Paso 2.3.2.1.3.6.2

Suma $t$ y $t$ .

$2 t + 1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t (t + 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C$

Paso 3

Resuelve $s$

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Paso 3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 s - 1 |))$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 2 s - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 s - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 2 s - 1 |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| t (t + 1) |) + C)$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t \cdot t + t \cdot 1 |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + t \cdot 1 |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + t |) + C)$

Paso 3.2.2.1.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| t^{2} + t |)$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + C)$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $C$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $C$ y $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + t |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 \frac{\ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\ln (| 2 s - 1 |) = 2 \frac{\ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 2 s - 1 |) = \ln (| t^{2} + t |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 2 s - 1 |) = \ln (| t^{2} + t |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 2 s - 1 |) - \ln (| t^{2} + t |) = 2 C$

Paso 3.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t |}) = 2 C$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Factoriza $t$ de $t^{2} + t$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Paso 3.5.1.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Paso 3.5.1.3

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Paso 3.5.1.4

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$

Paso 3.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Paso 3.5.3

Multiplica $t$ por $t$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Paso 3.5.4

Multiplica $t$ por $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t^{2} + t |}) = 2 C$

Paso 3.5.5

Factoriza $t$ de $t^{2} + t$ .

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Paso 3.5.5.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Paso 3.5.5.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t |}) = 2 C$

Paso 3.5.5.3

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t \cdot t + t \cdot 1 |}) = 2 C$

Paso 3.5.5.4

Factoriza $t$ de $t \cdot t + t \cdot 1$ .

$\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$

Paso 3.6

Para resolver $s$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |})} = e^{2 C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |}$

Paso 3.8

Resuelve $s$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} = e^{2 C}$

Paso 3.8.2

Multiplica ambos lados por $| t (t + 1) |$ .

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} | t (t + 1) | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Paso 3.8.3

Simplifica.

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Paso 3.8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.3.1.1

Cancela el factor común de $| t (t + 1) |$ .

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Paso 3.8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 2 s - 1 |}{| t (t + 1) |} | t (t + 1) | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Paso 3.8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t (t + 1) |$

Paso 3.8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.3.2.1

Simplifica $e^{2 C} | t (t + 1) |$ .

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Paso 3.8.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t \cdot t + t \cdot 1 |$

Paso 3.8.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.3.2.1.2.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t^{2} + t \cdot 1 |$

Paso 3.8.3.2.1.2.2

Multiplica $t$ por $1$ .

$| 2 s - 1 | = e^{2 C} | t^{2} + t |$

Paso 3.8.4

Resuelve $s$

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Paso 3.8.4.1

Reordena los factores en $e^{2 C} | t^{2} + t |$ .

$| 2 s - 1 | = | t^{2} + t | e^{2 C}$

Paso 3.8.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$2 s - 1 = \pm | t^{2} + t | e^{2 C}$

Paso 3.8.4.3

Reordena los factores en $\pm | t^{2} + t | e^{2 C}$ .

$2 s - 1 = \pm e^{2 C} | t^{2} + t |$

Paso 3.8.4.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$

Paso 3.8.4.5

Divide cada término en $2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.5.1

Divide cada término en $2 s = \pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1$ por $2$ .

$\frac{2 s}{2} = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.8.4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 s}{2} = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.4.5.2.1.2

Divide $s$ por $1$ .

$s = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t |}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.8.4.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.4.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$s = \frac{\pm e^{2 C} | t^{2} + t | + 1}{2}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$s = \frac{\pm C | t^{2} + t | + 1}{2}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$s = \frac{C | t^{2} + t | + 1}{2}$